上海交通大学1998年数学分析考研试题

1已给出一个函数的表达式 $F(x)$, 其为 $f(x)$ 的原函数, 求 $\dps{\int xf(x)\rd x}$. 解答: $$\beex \bea \int xf'(x)\rd x &=\int x\rd f(x)\\ &=xf(x)-\int f(x)\rd x\\ &=xF'(x)-F(x). \eea \eeex$$ 2已知 $$\bex \sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_i=0. \eex$$ 试证: $$\bex \ls{n}\sum_{

一.($3\times 15'=45'$) 1.  求 $\dps{\ls{n}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}}$, 其中 $a>b>0$. 解答: 由 $$\bex a<(a^n+b^n)^\frac{1}{n}<2^\frac{1}{n}a \eex$$ 及 $\dps{\ls{n}2^\frac{1}{n}=1}$ (参考第二大题第 4 小题), 夹逼原理知原极限 $=a$. 2.  求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x}{

1计算. (1)  \dps{ \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^{x^2}\sin^\frac{3}{2}t\rd t}{\int_0^xt\sex{t-\sin t}\rd t} } . 解答: \bex \mbox{原式}&=&\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin^\frac{3}{2}x^2}{x\sex{x-\sin x}}\\ &=&\lim_{x\to 0}\frac{2x^4}{x\cdot\frac{x^3}{6}}\\ &

1(10′ )判断下列命题是否正确. (1) 设数列 {xn} 满足: ? p∈N, limn→∞(xn+p?xn)=0 . 则 {xn} 收敛. 解答: 错! 比如对 xn=∑ni=11i 有 limn→∞(xn+p?xn)=limn→∞(1n+1+?+1n+p)=0, ? p∈N. 但 {xn} 发散. (2) 设 f(x) 在 [a,b] 上 Riemann 可积, 则 f(x) 在 [a,b] 上一定有原函数. 解答: 错! 因为任一仅具有有限多个跳跃间断点的函数 f 均是 Rieman

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

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1计算. (1) \dps{\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\sex{1+\frac{1}{n}} \sex{1+\frac{2}{n}} \cdots \sex{1+\frac{n}{n}} }} . 解答: \bex \mbox{原式}&=&\lim_{n\to\infty} \sed{ \frac{1}{n} \sez{\ln\sex{1+\frac{1}{n}}+\cdots+\ln \sex{1+\frac{n-1}{n}}} +\frac{\ln 2

$\bf 摘要$: 本文给出了兰州大学 2011 年数学分析考研试题的一个参考解答. $\bf 关键词$: 兰州大学; 数学分析; 考研试题 1计算题 ($6\times 10'=60'$). (1)求极限 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{e^{x-\sin x}-e^\frac{x^3}{6}}{x^5} \eex$$ 解答: $$\bex \mbox{原极限}&=&\lim_{x\to 0}\frac{e^\xi\sex{x-\sin x-\frac{x^3}{6}