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图的表示
这里介绍图的表示方式，那么什么样的数据结构，才能
真正的表示一个图？
其实图的表示方式非常简单，大家只需要抓住图的核心
即可，而对于图来说，它的核心其实就是顶点和边
通常使用两种不同的方式来表示图，对于这两种不同的
表示方式，它们的实质其实是：对于边的表示，应该采
用哪种数据结构
邻接矩阵
第一种表示方式叫做邻接矩阵（Adjacency Matrix），即
使用
一个二维矩阵，来表示一张图
（1）对于无向图来说，看如下实例：
这张图一共有 4 个顶点和 4 条边，可以使用一个二维矩阵来表示
如果有
n 个顶点，就一共有 n 行 n 列，如果称这个矩阵为 A，
则
A[i][j] 就表示是 i、j 这两个顶点是否相连，这里用 0 表示不
相连，1 表示相连
「也可以使用一个布尔值来表示是否相连」
在使用邻接矩阵表示无向图时，沿主对角线对称，
即
A[i][j] = A[j][i]
（2）对于有向图来说，看如下实例：
这张图一共有 4 个顶点和 4 条边，可以使用一个二维矩阵来表示
从 0 到 1 有一条边，所以 A[0][1] 为 1，而从 1 到 0 没有边，
所以
A[1][0] 为 0 … 以此类推
总而言之，邻接矩阵的每一行都表示当前顶点与图中所有顶点
之间的边的信息
邻接表
第二种表示方式叫做邻接表（Adjacency Lists），和邻接矩阵不同，
邻接表的每一行，只表示和当前顶点相连接的顶点的信息
（1）对于无向图来说，看如下实例：
不难看出，在邻接表的表示方式中，每一行都相当于一个链表，存放了
和当前顶点相邻的所有顶点
（2）对于有向图来说，看如下实例：
显然，邻接表这种表示方式，在存储空间上，它会比邻接矩阵所使用的
存储空间要小，但这也不代表邻接矩阵是没有用的
事实上，对于一个问题，如果要使用图的方式来建模，究竟是选择邻接
矩阵还是选择邻接表来表示图，应该具体问题，具体分析
总体原则：
1）邻接表适合表示稀疏图（Sparse Graph）
2）邻接矩阵适合表示稠密图（Dense Graph）
那么什么是稀疏图，什么是稠密图呢？
简单来说：
1）如果图中的边相对比较少，就可以叫稀疏图
2）如果图中的边相对比较多，就可以叫稠密图
什么是多，什么是少，依然比较抽象，看如下实例：
从直观上来看，第一感觉这是稠密图，但实际上，它更应该被划分为
稀疏图，因为每一个顶点最多只有不超过 8 条邻边，但在最大的情况
下，每一个顶点应该能和其它所有顶点都有一条边
显然，该图中边的个数远远的小于其所能拥有的最大的边的个数
再看如下实例：
上图就是稠密图的一个最典型的情况
--- 完全图
所谓完全图，即
图中任意两个顶点之间都有边
事实上，在解决实际问题时，很多情况下都要使用完全图
如：要做一个电影推荐的网站，要想推荐电影，就要找到和一部电影
相似的所有电影。为了计算相似性，很多时候都是计算出每一部电影
和其它所有电影之间的相似度
程序：
SparseGraph.h：
|
#ifndef SPARSEGRAPH_H #define SPARSEGRAPH_H #include <iostream> #include <vector> #include <cassert> using namespace std; // 稀疏图 - 邻接表 class SparseGraph { private: int n, m; //n 和 m 分别表示顶点数和边数 bool directed; //directed表示是有向图还是无向图 vector<vector<int>> g; //g[i]里存储的就是和顶点i相邻的所有顶点 public: SparseGraph(int n, bool directed) { //初始化时，有n个顶点，0条边 this->n = n; this->m = 0; this->directed = directed; //g[i]初始化为空的vector for (int i = 0; i < n; i++) { g.push_back(vector<int>()); } } ~SparseGraph() { } int V(){ return n; } int E(){ return m; } //在顶点v和顶点w之间建立一条边 void addEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n); g[v].push_back(w); //（1）顶点v不等于顶点w，即 //（2）且不是有向图，即 if (v != w && !directed) { g[w].push_back(v); } m++; } //hasEdge()判断顶点v和顶点w之间是否有边 //hasEdge()的时间复杂度：O(n) bool hasEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n); for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) { if (g[v][i] == w) { return true; } } return false; } }; //事实上，平行边的问题，就是邻接表的一个缺点 // //如果要在addEdge()中判断hasEdge()，因为hasEdge()是O(n)的复 //杂度，那么addEdge()也就变成O(n)的复杂度了 // //由于在使用邻接表表示稀疏图时，取消平行边（即 //中加上hasEdge()），相应的成本比较高 // //所以，通常情况下，在addEdge()函数中就先不管平行边的问题， //也就是允许有平行边。如果真的要让图中没有平行边，就在所有 //边都添加进来之后，再进行一次综合的处理，将平行边删除掉 #endif |
DenseGraph.h：
|
#ifndef DENSEGRAPH_H #define DENSEGRAPH_H #include <iostream> #include <vector> #include <cassert> using namespace std; // 稠密图 - 邻接矩阵 class DenseGraph { private: int n, m; //n 和 m 分别表示顶点数和边数 bool directed; //directed表示是有向图还是无向图 vector<vector<bool>> g; //二维矩阵，存放布尔值，表示是否有边 public: DenseGraph(int n, bool directed) { //初始化时，有n个顶点，0条边 this->n = n; this->m = 0; this->directed = directed; //二维矩阵：n行n列，全部初始化为false for (int i = 0; i < n; i++) { g.push_back(vector<bool>(n, false)); } } ~DenseGraph() { } int V(){ return n; } int E(){ return m; } //在顶点v和顶点w之间建立一条边 void addEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n); //如果顶点v和顶点w之间已经存在一条边， //则直接返回，即排除了平行边 if (hasEdge(v, w)) { return; } g[v][w] = true; //如果是无向图，则g[w][v]处也设为true（无向图沿主对角线对称） if (!directed) { g[w][v] = true; } m++; } //hasEdge()判断顶点v和顶点w之间是否有边 //hasEdge()的时间复杂度：O(1) bool hasEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n); return g[v][w]; } }; //addEdge()函数隐含着：当使用邻接矩阵表示稠密图时，已经 //不自觉的将平行边给去掉了，即 //存在该边，就不做任何操作，直接返回即可 // //事实上，这也是使用邻接矩阵的一个优势可以非常方便的处理 //平行边的问题 // //另外，由于使用的是邻接矩阵，可以非常快速的用O(1)的方式， //来判断顶点v和顶点w之间是否有边 #endif |
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