kruskal求得的生成树是最小生成树的证明

给一带权连通的树一定会有至少一棵生成树，那么这些生成树中间必然会会存在至少一棵最小生成树。

假设T是用kruskal求出来的最小生成树，而U是这个图的最小生成树，如果U == T,那么证明结束。

然而如果T ！= U，那么至少存在一条边在T中，不在U中。那么我们希望证明T和U中所有边的权值之和是相等的。假设存在k条边存在T中不存在U中。

接下来进行k次变换：

每次将在T中不在U中的最小的边f拿出来放到U中，那么U中必然形成一条唯一的环路，我们取出这个环路上最小的且不再T中的边e放回到T中，这样的边e一定是存在的，因为之前的T不存在环路（如果e在T中那么就可能和f形成环路）。

现在证明f和e的关系，如果f和e相等的，那么k次变换后，T和U的权值之和是相等的，那么证明就成立了。

假设f < e,那么后来形成的U是权值之和更小了，与U是最小生成树矛盾。

假设f > e,那么根据kruskal的做法，e是在f之前被取出来的边但是被舍弃了，一定是因为e和比e小的边形成了环路，而比e小的边都是存在U中的，而e和这些边并没有形成环路，于假设矛盾。

所以f = e。

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