简介
Link-cut Tree，简称LCT。
干什么的？它是树链剖分的升级版，可以看做是动态的树剖。
树剖专攻静态树问题；LCT专攻动态树问题，因为此时的树剖面对动态树问题已经无能为力了（动态树问题通常夹杂着树的操作，如删边与连边。这是线段树无法应对的）。
LCT难写吗？不难写啊！真的没有200行......
让我们用简洁的写法来搞定LCT：只需要一些基础函数，再疯狂调用这些函数就好啦。
1. LCT概念
树链剖分把树分成若干条重链，对于每条重链，用线段树来维护信息。利用各线段树的信息来得到答案。
模仿一下：
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- LCT把树分成若干条重链：
这是假的重链！树剖是挑选重儿子来延续重链；而LCT的重链是随缘的......
我们先不管这里的重链是怎么确定的，因为在LCT中，重链是可以随时更改的！（不要畏惧更改操作，一切都可以用基础函数的简单调用搞定）
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- $access(u)$，这是我们的更改操作。作用是将$u$到根节点的一路都变成重链（根节点的定义在下一节描述，此处先不必纠结），同时，原本的重链将会被断开，如图：
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- 对于每条重链，我们用一棵Splay来维护信息，利用各Splay的信息来得到答案。
2. 存储方式
LCT是怎么存储的？
很简单，我们不要把树看成树剖一样的形式，分开若干条重链用线段树维护，又拼起来。
我们的每条重链的Splay，都是连在一起的，但又是相互独立的！看图：
橙色边为每棵Splay，灰色边表示的是Splay之间的连接边。
每棵Splay储存照常，Splay的中序遍历即重链节点从浅到深的排列。每棵Splay内节点的关系可能和原树不同，但是与其他Splay连边的节点没有改变。
但只有每棵Splay的根节点能连向其他Splay的某个节点（灰色边）。Splay根节点$root$记录它的父亲是谁（有的Splay根节点$root$没有父亲），而它的父亲并不记录自己有这个儿子$root$。
发现，每一个节点，都能够通过一直走父亲，走到某一个点，这个点就是上节提到的根节点，不同于Splay的根节点。
3. 基础函数（以下基本都是经典函数）
我们需要一个函数来判断当前节点$u$是否为所属Splay的根节点：
bool isSplayRoot(int u){
return ch[fa[u]][0]!=u&&ch[fa[u]][1]!=u;
}
即父亲的左右儿子都不是自己，说明此节点是Splay的根节点，它的父亲并不记录自己。
需要一个函数判断当前节点$u$是父亲节点的左儿子还是右儿子：
int who(int u){
return ch[fa[u]][1]==u;
}
如果是左儿子，返回0；否则返回1。
更新Splay信息函数，作用是收集左右儿子的信息。不需要对LCT如何在这么多数据结构间保证正确性表示质疑，只需大胆在里面写上自己要的更新函数，这里以最大值举例：
void update(int u){
if(!u) return;
inf[u]=max(w[u],max(inf[ch[u][0]],inf[ch[u][1]]));
}
经典的Splay翻转打标记函数reverse、单次下传函数pushdownOnce、一路下传函数pushdown、旋转函数rotate和伸展函数splay，没有什么特殊的地方：
void reverse(int u){
rev[u]^=1;
swap(ch[u][0],ch[u][1]);
}//为u打上翻转标记
void pushdownOnce(int u){
if(rev[u]){
if(ch[u][0]) reverse(ch[u][0]);
if(ch[u][1]) reverse(ch[u][1]);
rev[u]=0;
}
}//单次下传
void pushdown(int u){
if(!isroot(u)) pushdown(fa[u]);
pushdownOnce(u);
}//从当前Splay的根节点一路下传到u，把一路的翻转都处理掉
void rotate(int u){
int f=fa[u],g=fa[f],c=who(u);
if(!isroot(f))
ch[g][who(f)]=u;
fa[u]=g;
ch[f][c]=ch[u][c^1]; fa[ch[f][c]]=f;
ch[u][c^1]=f; fa[f]=u;
update(f); update(u);
}//将当前节点u旋转到父亲节点
void splay(int u){
pushdown(u);
while(!isroot(u)){
if(!isroot(fa[u]))
rotate(who(fa[u])==who(u)?fa[u]:u);
rotate(u);
}
}//将u旋转到当前Splay的根节点
4. 重要函数：
$access(u)$，更改函数，把$u$到LCT根节点一路变成重儿子，同时断开一路上原来的重儿子：
void access(int u){
for(int v=0;u;v=u,u=fa[u]){
splay(u);
ch[u][1]=v;
update(u);
}
}
什么意思呢？外层for循环负责迭代从$u$一直到Splay根节点的路径，同时用$v$记录是从哪里来到$u$的。
每到达一个点$u$，我们将$u$提到树根，这时$u$的右儿子就是在原本重链上$u$的重儿子。我们把它替换成过来的节点，并更新信息即可。
$makeRoot(u)$，换根操作，使$u$成为LCT的根节点：
void makeRoot(int u){
access(u);
splay(u);
reverse(u);
}
换根换根，实际上影响到的是哪些因素呢？
换根，仅仅是$u$到LCT根节点一路上的信息发生了父子反向，对于其它的Splay并没有影响。
于是神奇的调用来了：
- 我们把$u$到LCT根节点一路变为重链，即把它们放到一棵Splay中；
- 将$u$旋转到Splay的根节点；
- 为$u$打上翻转标记（不要纠结怎么维护翻转标记，我们的基础函数已经保证了标记的下传不会乱、出错）。
这样就为$u$到根节点的信息完成了父子反向操作。
（我们之后可以慢慢体会到LCT的调用的巧妙和精美）
$link(a,b)$，连接操作，更改树形，连接a和b两个节点，即连接a和b所在的两棵LCT（前提是a和b不在同一棵LCT中）：
void link(int a,int b){
makeRoot(a);
fa[a]=b;
}
我们将$a$变为$a$的LCT的根，然后将$a$的父亲设为$b$。这样就将$a$的整棵LCT连接到了$b$所在的LCT。
$cut(a,b)$，切割操作，更改树形，分离a和b两个节点，即分割出两棵独立的LCT（前提是a和b在同一棵LCT中且a和b相邻）：
void cut(int a,int b){
makeRoot(a);
access(b);
splay(b);
fa[a]=0;
ch[b][0]=0;
update(b);
}
我们将$a$变成LCT的根，然后将$b$到LCT根节点（也就是$a$）一路变为重链，再将$b$旋转到所在Splay的根。
由于$a$和$b$同在一棵Splay中且$a$一定是$b$的父亲，所以Splay中$b$的左儿子一定是$a$，断开即可，记得更新，因为有了父子关系变化。
$isConnect(a,b)$，实现判断a和b是否在同一棵LCT中：
bool isConnect(int a,int b){
if(a==b) return true;
makeRoot(a);
access(b);
splay(b);
return fa[a];
}
我们将$a$变成LCT的根，然后将$b$到LCT根节点（也就是$a$）一路变为重链，再将$b$旋转到所在Splay的根。（怎么和上面很像呢哈哈）
如果$a$和$b$不在同一棵LCT中，执行$makeRoot(a)$后，$a$的父亲应该为空（$makeRoot$最后有一个$splay(u)$的操作将$u$旋转到树根）。
除非什么情况呢？除非a和b在同一棵LCT中，在$access(b)$并$splay(b)$后，$a$与$b$应该在同一棵Splay中，既然$b$为Splay根，那么$a$肯定不为Splay根，一定有一个父亲存在。
至此，LCT的最常用函数已经介绍完毕，下面我们来总结一下最根本的核心思想：
可以发现$access(u)$和$splay(u)$总是配套出现，有时在前面配上$makeRoot$。这一套COMBO可以将$u$转到Splay树根，然后进行如同Splay一样的便捷操作。
比如想求$a$到$b$的点权之和，我们可以$makeRoot(a) + access(b) + splay(b)$，此时$a$和$b$一定在同一条重链、同一棵Splay中，然后我们统计$b$和$b$的左子树的点权之和就可以了。
总结
久仰LCT，总觉得特别难，但是理解以后就会觉得很有意思。一些处理信息、调用函数的思想，值得我们更多地推敲。