一、超复数数系
从实数扩展到复数，实际上是从实数轴扩张到复平面，即从一元数扩展到二元数。那么我们能够扩展到更高维的空间哪？数学家给了我们答案，我们可以引进$2^{n}$元数。当$n=0,1$时，分别对应实数和复数。当$n=2,3,4$分别对应四元数(Hamilton代数)，八元数（Cayley代数），以及十六元数（Clifford代数）。它们统称为超复数。
当$n\geq 1$时，我们就已经无法比较数的大小，即有序性消失。下面我们就$n=2,3,4$的情况分别讨论。
二、 四元数系$Q(R)$
四元数系是第一个放弃乘法交换律的数系。它由四组基元定义。
令$Q(R)=\{\alpha|\alpha=a+b\hat i+c\hat j+d\hat k,\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$，用自然方式定义加法，以及元素与实数的数乘运算，而乘法规定为用分配律去展开，并且基元的乘法运算满足
${\hat i}^2={\hat j}^2={\hat k}^2=-1,\,\hat i\hat j=-\hat j\hat i=\hat k,\,\hat j\hat k=-\hat k\hat j=\hat i,\,\hat k\hat i=-\hat i\hat k=\hat j$.
从基元的乘法可以看出，四元数的乘法是不对易的，因此$Q(R)$是一个非Abel域。注意准确地讲，如果乘法非Abel，那么数系不是域。
四元数可以用Pauli矩阵表示
$$ \sigma_x=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0\\ \end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}.$$
可以得到$Q(R)$的一个矩阵实现
$$1=E_2,\,\hat i=-i\sigma_x,\,\hat j=-i\sigma_y,\,\hat k=-i\sigma_z.$$
四元数或Pauli矩阵在刚体转动中有广泛应用。刚体绕方向余弦$n=(\cos\alpha,cos\beta,\cos\gamma)$转动$\theta$的转动$R(n,\theta)$可以用四元数表示
$$Q(n,\theta)=\cos\frac\theta 2+\sin\frac\theta 2(\cos\alpha\hat i+\cos\beta\hat j+\cos\gamma\hat k)$$.
连续两次转动就是两个四元数相乘，注意四元数乘法非Abel，代表转动与顺序有关，这与事实相符。
三、 八元数系$\Omega$
英国数学家Cayley推广了Hamilton的四元数系，得到了如下定义的八元数系。
$$\Omega=\{\alpha+\beta e|\alpha,\beta\in Q(R)\}=\{a_0+a_1i+a_2j+a_3k+a_4e+a_5ie+a_6je+a_7ke|a_i\in\mathbb{R}\}.$$
这里$e$是新的基元，它与i,j,k的乘法表如下：
从中可以看出，乘法既无交换律，亦无结合律，比如$(e_1e_2)e_4=e_7,\,e_1(e_2e_4)=-e_7$.
四、 十六元数$\Gamma$
十六元数系$\Gamma$，数学中成Clifford代数，物理中称为Dirac代数，满足Dirac方程。十六元数系可由Dirac矩阵$\gamma_\mu(\mu=1,2,3,4)$表示, 其中
$$\gamma_\mu^2=1,\,\gamma_\mu\gamma_\nu=-\gamma_\nu\gamma_\mu \,(\mu\neq\nu),$$
那么考虑满足条件$u_i^2=1,u_iu_j=-u_ju_i\,(i\neq j)$的四个$u_1,u_2,u_3,u_4$，此时由$2^4$个基元：$1,u_i,u_iu_j,u_iu_ju_k,u_iu_ju_ku_l$, 记作$\gamma_A,\,A=1,2,...,16$. 那么这个代数系（Clifford代数）可表示为
$$\Gamma=\{X|X=\sum_{A=1}^{16}x_A\gamma_A, x_A\in \mathbb{R}\}$$.
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