3个数学问题

虽数学学得也就算一般，但一直比较喜欢思考数学问题，以下是本人思考时间相当长的几个问题：

1. 数列问题

已知 A[0]=1 , A[1]=3 , A[n+1] = n*A[n]+(n-1)*A[n-1] , 求A[n]的通式。

这个问题还是高中时代遇到的，同桌提出来的，也不知道从哪里看来的。想了很多年，问过很多人，最终得到解答如下：

设 A[n]=n!+ (n-1)! , 则 n*A[n] = n*n! +n*(n-1)! = n*n! + n! = (n+1)!

那么 (n-1)*A[n-1] = n! ;

n*A[n]+(n-1)*A[n-1] = (n+1)! + n! = A[n+1] 。

同理可知 A[n]=C*(n!+ (n-1)!) 也满足通式，剩下的问题就是计算常系数C了

计算会发现 用A[1] A[2] 分别计算C值时，C的结果不一样，也就是说虽然通式找到了 ，但是这个初始条件不能满足。

曾更深入地分析过这个问题：，如果已知初始条件A[0]，A[1] ，给定n，n不要太大，可以容易地计算出A[n]，而A[n]是一个非常大的数，这个计算过程可以近似认为是不可逆的。

2. 单摆的周期问题

也是高中时候遇到的问题，当时学单摆周期的时候有一个固定的公式，但公式有一个限制条件：单摆的摆动角度很小。如果角度比较大，该怎么计算？后来学了微积分和计算机编程，才解决这个问题，用微积分的方法可以用一个定积分的形式来表示这个周期大小，但这个定积分不能用积分公式来计算，后来才想到用编程的方法来计算，自己写了几行C代码解决了这个问题，高兴了我好久。其实再后来才知道可以用matlab求解，更简单方便。

3. 追赶问题

问题描述： 有两车A,B，在一条有最高速限制V_Max的单车道上行驶，A车动力强，从零速启动到最大速度V_Max 的加速时间可以认为0，同样停止时间也可认为0 ，B车最大加速度为Acc_max ，问题如下： B车要跟随A车，A车随时可能启动和停止，给出一种跟随方案。

跟随方法的评价标准有好几个方面：1。跟随滞后大小；2 B车运行平滑程序 ； 3. 方案实现复杂程度。

这问题是从控制步进电机时的实际问题中抽象出现了，解决方法不唯一。后面再写一个续篇。