归纳法求解最大连续子序列

(原文链接：http://www.karottc.com/blog/2014/09/07/maximum-consecutive-subsequence/)

问题

求最大连续子序列的问题描述如下：

给定一个实数序列 x₁, x₂, ... , x_n（不必是正数），寻找一个（连续的）子序列 x_i, x_i+1, ... , x_j，使得其数值之和在所有连续子序列数值之和中是最大的。

这个问题就是最大子序列问题，所求的的这个序列就叫做——最大子序列。下面通过数学归纳法来分析和解决这个问题，解决这个问题的最好目标是： 一个算法，能够只扫描此序列一次就得到最大子序列。

归纳分析

根据上面的问题可以直接得到一般的归纳假设：

归纳假设： 已知如何找到规模小于 n 的序列的最大子序列。

下面假定一些变量：

• 给定序列 S(n)=(x₁, x₂, ... , x_n).
• 序列 S(n) 的子序列为 S^‘(n) .
• 序列 S(n) 的最大子序列为 S^‘_M(n)=(x_i, x_i+1, ... , x_j).
• 序列 S(n) 的最大后缀子序列为 S^‘_E(n)=(x_k, x_k+1, ... , x_n). 

现在开始用数学归纳法来证明：

1. 当 n ＝ 1 时， S(1)=x₁，如果 x₁<0，则 *S^‘_M(1)＝NULL；否则 *S^‘_M(1)＝x₁ .
2. 当 n = n-1 时，S(n-1)=(x₁, x₂, ... , x_n-1)，假设 S^‘_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j).
3. 当 n = n 时，S(n)=(x₁, x₂, ... , x_n)=( S(n-1), x_n)，然后由 S^‘_M(n-1) 推导出 S^‘_M(n)，共有下面3种情况：
   1. S^‘_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) ＝ NULL，如果 x_n<0，则 *S^‘_M(n)＝NULL；否则 *S^‘_M(n)＝x_n .
   2. S^‘_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) && j = n-1，此时 S^‘_M(n-1) ＝ S^‘_E(n-1)，如果 x_n > 0，S^‘_M(n)＝ S^‘_M(n-1) +
      x_n ＝ (x_i, x_i+1, ... , x_j) + x_n，否则 S^‘_M(n)＝ S^‘_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) .
   3. S^‘_M(n-1)=(x_i, x_i+1, ... , x_j) && j < n-1，此时 S^‘_M(n-1) > S^‘_E(n-1)，则可得到 S^‘_M(n)＝S^‘_M(n-1) 或者 S^‘_M(n)＝S^‘_E(n-1) +
      x_n .
4. 即上述可得证：能够求出 S(n)=(x₁, x₂, ... , x_n) 的最大连续子序列，不过上述的证明过程中用了增强归纳假设，这个也是这个证明的关键：
   

   更强的归纳假设： 已知如何找到规模小于 n 的序列的最大子序列，以及作为后缀的最大子序列。

我们知道了 S^‘_M(n) 和 S^‘_E(n) 这两个序列，算法也就明确了。我们把 x_n 加入到最大后缀子序列中，如果它的和大于原来的最大子序列，则得到一个新的最大子序列（同样也是一个后缀），否则，保留以前的最大子序列。但求解过程还没有结束，我们还需要寻找新的最大后缀子序列，因为不能只是简单的把 x_n 加到以前的最大后缀中，有可能以 x_n 结束的最大后缀的和是负数，在这种情况下，我们就需要把NULL（空集）作为最大后缀（以及把随后的
x_n+1 也考虑进去）。

具体算法实现

根据上面的分析过程，下面贴上具体的C++代码：

int Maximum_Consecutive_Subsequence(int *x, int n)
{
    int global_Max = 0;   // 最大子序列的和
    int suffix_Max = 0;   // 最大后缀子序列的和，每次迭代都会更新
    int i = 0;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        if (x[i] + suffix_Max > global_Max)
        {
            suffix_Max = suffix_Max + x[i];
            global_Max = suffix_Max;
        }
        else if (x[i] + suffix_Max > 0)
        {
            suffix_Max = suffix_Max + x[i];
        }
        else
        {
            suffix_Max = 0;
        }
    }
    return global_Max;
}

更详细的代码可以戳这里.

2014.09.07