超大背包问题 （折半枚举）

题意：有重量和价值分别为wi，vi的n个物品。从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

限制条件：

1 <= n <= 40

1 <= wi, vi <= 10 的15次幂

1 <= W <= 10的15次幂

输入：

n = 4

w = {2, 1, 3, 2}

v = {3, 2, 4, 2}

W = 5

输出：

7（挑选0、1、3号物品）

分析：

这个问题是前面介绍过的背包问题，不过这次价值和重量都可以是非常大的数值，相比之下n比较小。使用DP求解背包问题的复杂度是O(nW)，因此不能用来解决这里的问题。

我们可以向之前的题一样拆成两半之后再枚举，因为每部分只有20个，所以是可行的。利用拆成两半后的两部分的价值和重量，我们能求出原先的问题。

我们把前半部分中的选取方法对应的重量和价值总和记为w1, v1。这样在后半部分寻找总重w2 <= W - w1时使v2最大的选取方法就好了。

因此，我们要思考从枚举得到的(w2, v2)的集合中高效寻找max{v2|w2<= W‘}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] <= w2[j]并且v2[i] >= v2[j]的j。这一点可以按照w2, v2的字典序排序后简单做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j]===v2[i] < v2[j]，要计算max{v2|w2<= W‘}的话，只要寻找满足w2[i] <= W‘的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 40 + 5;
const int INF = 10000000;

int n;
ll w[maxn], v[maxn];
ll W;

pair<ll, ll> ps[1 << (maxn / 2)];    //（重量， 价值）
void solve()
{
    //枚举前半部分
    int n2 = n / 2;
    for (int i = 0; i < 1 << n2; i++){
        ll sw = 0, sv = 0;
        for (int j = 0; j < n2; j++){
            if (i >> j & 1){
                sw += w[i];
                sv += v[i];
            }
        }
        ps[i] = make_pair(sw, sv);
    }

    //去除多余的元素
    sort(ps, ps + (1 << n2));
    int m = 1;
    for (int i = 1; i < 1 << n2; i++){
        if (ps[m - 1].second < ps[i].second){
            ps[m++] = ps[i];
        }
    }

    //枚举后半部分并求解
    ll res = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << (n - n2); i++){
        ll sw = 0, sv = 0;
        for (int j = 0; j < n - n2; j++){
            if (i >> j & 1){
                sw += w[n2 + j];
                sv += v[n2 + j];
            }
        }
        if (sw <= W){
            ll tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1) -> second;
            res = max(res, sv + tv);
        }
    }
    printf("%lld\n", res);
}