3130: [Sdoi2013]费用流
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Description
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。
上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。 对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。
Input
第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。
Output
第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
3 2 1
1 2 10
2 3 15
Sample Output
10
10.0000
HINT
【样例说明】
对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用
为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。
对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流
量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
Source
想法：题目中“Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案”，就是说Alice选了一个方案后，Bob才分配。通过乘法分配律什么的，可以得到Bob把花费全放在在流量最大的那条边上的总费用最优。于是限制一下通过一条边的最大流量。
鉴于$\frac{最大流}{路径数}$可能为实数，所以上限可以是实数。然后就是二分+网络流了.....
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int MAXN(110),MAXM(1010);
const double eps(1e-6),INF(0x7fffffff);
int n,m,p,a[MAXM],b[MAXM],c[MAXM],S,T;
double sum,big_flow,small_cost;
struct Node{int nd,nx;double fl;}bot[MAXM<<1];int tot=1,first[MAXN];
void add(int a,int b,double f){bot[++tot]=(Node){b,first[a],f};first[a]=tot;}
void addedge(int a,int b,double f){add(a,b,f);add(b,a,0);}
double min(double a,double b){return a>b?b:a;}
void build(double limt)
{
for(int i=1;i<=n;i++)first[i]=0;tot=1;
for(int i=1;i<=m;i++) addedge(a[i],b[i],min(limt,c[i]));
}
int q[MAXN],dis[MAXN],l,h,now;
bool bfs(int S,int T)
{
for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;
q[l=1]=S;dis[S]=0;h=0;
while(h<l)
{
now=q[++h];
for(int v=first[now];v;v=bot[v].nx)
if(bot[v].fl>eps&&dis[bot[v].nd]==INF)
q[++l]=bot[v].nd,dis[bot[v].nd]=dis[now]+1;
}
return dis[T]!=INF;
}
double dfs(int x,int T,double flow)
{
if(x==T)return flow;
double sum=0,tmp;
for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)
if(bot[v].fl>eps&&dis[bot[v].nd]==dis[x]+1)
{
tmp=dfs(bot[v].nd,T,min(bot[v].fl,flow));
sum+=tmp; flow-=tmp;
bot[v].fl-=tmp; bot[v^1].fl+=tmp;
if(!flow)break;
}
if(!sum)dis[x]=-1;
return sum;
}
bool ok(double limt)
{
build(limt); sum=0;
while(bfs(S,T)) sum+=dfs(S,T,INF);
return sum>=big_flow-eps;
}
int main()
{
// freopen("C.in","r",stdin);
// freopen("C.out","w",stdout);
scanf("%d %d %d",&n,&m,&p);S=1;T=n;
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d %d %d",a+i,b+i,c+i);
ok(INF); big_flow=sum;
for(double l=0,r=big_flow,mid;l+eps<r;)
if(ok(mid=(l+r)/2))r=mid,small_cost=mid;else l=mid;
printf("%.0lf\n%.4lf\n",big_flow,small_cost*p);
return 0;
}