161020-1解答

(1) 用反证法. 不妨设 $A$ 的后 $r$ 个行向量线性无关, 后 $r$ 个列向量线性无关, 若它们对应的行列构成的 $r$ 阶子式等于零, 则对 $A$ 的后 $r$ 行实行初等行变换, 有 $$\bex A\to \sexm{ B_{m-1,n-r}&C_{m-1,r}\\ \al_{1,n-r}&0_{1,r}}=H. \eex$$ 由 $A$ 的后 $r$ 个行向量线性无关知 $\al\neq 0$; 由 $A$ 后 $r$ 个列向量线性无关知 $\r(C)=r$. 于是 $$\bex \r(A)=\r(H)\geq \r(C)+\r(\al)=r+1. \eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.

题目见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/5797919.html