POJ 1091 跳蚤（分解质因数 ＋ 容斥 ＋ 大数）

跳蚤

Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。

比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。

当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是：

(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),

(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

Source

HNOI 2001

题目链接：http://poj.org/problem?id=1091

题目分析：不知道数据是有多弱，discuss里说long long就可过，显然随便出一组数据都可能爆long long，所以还是用Java大数写了一发，这题其实就是：

对于一个数列ai，求有多少种排列使得gcd(a[1], a[2], ..., a[n], m) == 1，首先题目已经说了，总的可能是m^n，现在要减去不符合条件的情况，比如gcd为2，gcd为3，注意如果gcd为6，则被减了2次，要加回来，因此这里要用到容斥定理，m^n－gcd由奇数个不同素数相乘得到的情况＋gcd由偶数个不同的素数相乘得到的情况，因为m是确定的，因此我们可以对m进行分解质因数，每种gcd集合元素个数可以通过枚举后DFS求解，具体细节见程序

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main{
    public static int fac[] = new int[105];
    public static int re[] = new int[105];
    public static int cnt = 0, n, m;
    public static BigInteger fnum;

    public static void Divide(int x){       //分解质因数
        for(int i = 2; i <= (int)Math.sqrt(x); i++){
            if(x % i == 0){
                fac[cnt ++] = i;
                while(x % i == 0){
                    x = x / i;
                }
            }
        }
        if(x > 1)
            fac[cnt ++] = x;
    }

    public static void DFS(int pos, int cur, int num){
        if(cur == num){
            BigInteger t = BigInteger.valueOf(m);
            for(int i = 0; i < cur; i++)
                //t表示gcd值为num个素数相乘得到时(设乘积为mul)每个元素可能的值即(m / mul)
                //比如m＝18，mul＝6时，每个元素可能的值有3个：6 12 18
                t = t.divide(BigInteger.valueOf(re[i]));
            //每个位置有t种选择，共有n各位置，所以当前集合元素个数为t^n
            fnum = fnum.add(t.pow(n));
            return;
        }
        for(int i = pos; i < cnt; i++){
            re[cur] = fac[i];
            DFS(i + 1, cur + 1, num);
        }
    }

    public static void main(String[] args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while(in.hasNext())
        {
            n = in.nextInt();
            m = in.nextInt();
            Divide(m);
            BigInteger extra = BigInteger.ZERO;
            for(int i = 1; i <= cnt; i++){
                fnum = BigInteger.ZERO; //fnum存的是gcd集合元素个数
                DFS(0, 0, i);
                if(i % 2 == 1)  //容斥
                    extra = extra.add(fnum);
                else
                    extra = extra.subtract(fnum);
            }
            System.out.println(BigInteger.valueOf(m).pow(n).subtract(extra));

        }
    }
}

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