R语言的导数计算（转）

转自：http://blog.fens.me/r-math-derivative/

前言

高等数学是每个大学生都要学习的一门数学基础课，同时也可能是考完试后最容易忘记的一门知识。
我在学习高数的时候绞尽脑汁，但始终都不知道为何而学。生活和工作基本用不到，就算是在计算机行业和金融行业，能直接用到高数的地方也少之又少，学术和实际应用真是相差太远了。

不过，R语言为我打开了一道高数应用的大门，R语言不仅能方便地实现高等数学的计算，还可以很容易地把一篇论文中的高数公式应用于产品的实践中。
因为R语言我重新学习了高数，让生活中充满数学，生活会变得更有意思。

本节并不是完整的高数计算手册，仅介绍了导数计算和偏导数计算的R语言实现。

目录

  1. 导数计算
  2. 初等函数的导数公式
  3. 二阶导数计算
  4. 偏导数计算

1. 导数计算

导数(Derivative)是微分学的基本概念，用于计算函数的极值。导数的定义为，当函数y=f(x)在x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增加Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx趋于0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f`(x0)，即

也记作 y’|x=x0 ，dy/dx|x=x0 或 df(x)/dx|x=x0。

通过R语言可以使用deriv()函数直接进行导数的计算，比如要计算 y=x^3 的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为 y’=3x^2，当x=1时，y’=3,当x=2时，y’=12。

本节的系统环境

  • Win7 64bit
  • R: 3.1.1 x86_64-w64-mingw32/x64 (64-bit)

用R语言程序实现，代码如下。

> dx <- deriv(y ~ x^3, "x") ; dx  # 生成导数公式
expression({
    .value <- x^3
    .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
    .grad[, "x"] <- 3 * x^2
    attr(.value, "gradient") <- .grad
    .value
})
> mode(dx)                        # 查看dx变量类型
[1] "expression"
> x<-1:2                          # 给自变量x赋值
> eval(dx)                        # 运行求导计算
[1] 1 8                           # 原函数的计算结果
attr(,"gradient")                 # 使用梯度下降法，导函数的计算结果
      x
[1,]  3                           # x=1,dx=3*1^2=3
[2,] 12                           # x=2,dx=3*2^2=12

用R语言程序计算的结果，与我们手动计算的结果是一致的。但计算过程其实是有很大区别的，我们手动计算时是通过给定的导数计算公式，变成后完成的计算。而用计算机程序计算时，是使用梯度下降法来计算一阶导数，是一种最优化的近似算法。对于手动计算导数时，如果函数比较复杂而且比较难应用可变形的公式，那么手动计算就会有非常大的困难，而计算机程序的方法是一般地导数计算方法，不会受到公式难于变形的影响。

我们使用deriv(expr, name)函数时通常要传2个参数，第一参数expr就是原函数公式，用~号来分隔公式的两边，第二参数name用于指定函数的自变量。deriv()函数会返回一个表达式expression类型变量，再用eval()函数运行这个表达式得到就可得到计算结果，如上面的代码实现。

如果希望以函数的形式调用计算公式，那么你还需要传第三个参数func，并让func参数为TRUE，参考下面的代码实现。

计算正弦函数y=sin(x)的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为 y’=cos(x)，当x=pi时，y’=-1，当x=4*pi时，y’=1，其中pi=π表示圆周率。

> dx <- deriv(y ~ sin(x), "x", func= TRUE) ; dx      # 生成导数公式的调用函数
function (x)
{
    .value <- sin(x)
    .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
    .grad[, "x"] <- cos(x)
    attr(.value, "gradient") <- .grad
    .value
}
> mode(dx)                               # 检查dx的类型
[1] "function"
> dx(c(pi,4*pi))                         # 以参数作为自变量，进行函数调用
[1]  1.224606e-16 -4.898425e-16
attr(,"gradient")
      x                                  # 导函数的计算结果
[1,] -1                                  # x=pi,dx=cos(pi)=-1
[2,]  1                                  # x=4*pi,dx=cos(4*pi)=1

2. 初等函数的导数公式

对于基本的初等函数求导数，通过导数计算公式是可以直接手动完成计算的，下面为一元初等函数的导数计算公式。

函数          原函数            导函数
常数函数      y=C               y‘=0
幂函数        y=x^n             y‘=n*x^(n-1)
指数函数      y=a^x             y‘=a^x*ln(a)
              y=exp(1)^x        y‘=exp(1)^x
对数函数      y=log(x,base=a)   y‘=1/(x*ln(a)) (a>0，且a!=1,x>0)
              y=ln(x)           y‘=1/x
正弦函数      y=sin(x)          y‘=cos(x)
余弦函数      y=cos(x)          y‘=-sin(x)
正切函数      y=tan(x)          y‘=sec(x)^2=1/cos(x)^2
余切函数      y=cot(x)          y‘=-csc(x)^2=1/sin(x)^2
正割函数      y=sec(x)          y‘=sec(x)*tan(x)
余割函数      y=csc(x)          y‘=-csc(x)*cot(x)
反正弦函数    y=arcsin(x)       y‘=1/sqrt(1-x^2)
反余弦函数    y=arccos(x)       y‘=-1/sqrt(1-x^2)
反正切函数    y=arctan(x)       y‘=1/(1+x^2)
反余切函数    y=arccot(x)       y‘=-1/(1+x^2)
反正割函数    y=arcsec(x)       y‘=1/abs(x)*(x^2-1)
反余割函数    y=arccsc(x)       y‘=-1/abs(x)*(x^2-1)

公式的注释：

  • y是原函数，x是y函数的自变量，y’是y函数的导函数。
  • C,n,a为常数。
  • ln表示以自然常数e为底的对数
  • exp(1)表示自然常数e
  • log(x,base=a)表示，以常数a为底的对数
  • sqrt表示开平方
  • abs表示绝对值
  • 正割函数sec，计算方法为 sec=1/cos(x)
  • 余割函数csc，计算方法为 csc=1/sin(x)
  • 余切函数cot，计算方法为 cot=1/tan(x)

注： 以上公式不完全匹配于R语言函数

接下来，我们分别对这些一元初等函数进行一阶导数的计算。设y为原函数，x是y函数的自变量，且只有一个自变量。

常数函数

计算 y=3+10*x 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=0+10*x ，常数项3的导数为0，当x=1时，y’=10。

> dx<-deriv(y~ 3+10*x,"x",func = TRUE)  # 以函数形式生成导数公式
> dx(1)                                 # 传入自变量，并计算
[1] 13                                  # 原函数计算结果y=3+10*1=13
attr(,"gradient")
      x
[1,] 10         # 导函数计算结果y‘=10*1=10

幂函数

计算 y=x^4 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=4*x^3，当x=2时，y’=32。

> dx<-deriv(y~x^4,"x",func = TRUE)
> dx(2)
[1] 16
attr(,"gradient")
      x
[1,] 32         # 导函数计算结果y‘=4*x^3=4*2^3=32

指数函数

计算 y=4^x 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=4^x*ln(4)，当x=2时，y’=22.18071。

> dx<-deriv(y~4^x ,"x",func = TRUE)
> dx(2)
[1] 16
attr(,"gradient")
            x
[1,] 22.18071   # 导函数计算结果y‘=4^x*log(4)=4*2^3=22.18071

计算 y=exp(1)^x 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=exp(1)^x，当x=2时，y’=y=7.389056。

> dx<-deriv(y~exp(1)^x ,"x",func = TRUE)
> dx(2)
[1] 7.389056
attr(,"gradient")
            x
[1,] 7.389056   # 导函数计算结果y‘=exp(1)^x=exp(1)^2=7.389056

对数函数

计算 y=ln(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=1/x，当x=2时，y’=0.5。

> dx<-deriv(y~log(x),"x",func = TRUE)
> dx(2)
[1] 0.6931472
attr(,"gradient")
       x
[1,] 0.5   # 导函数计算结果y‘=1/x=1/2=0.5

计算 y=log2(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=1/(x*log(2))，当x=3时，y’=0.4808983。

但用R语言编程时，只能计算以自然常数为底的对数的导数，对于原函数不是以自然常数为底的对数，首先要变换成以自然常数为底的对数再进行导数计算，根据对数的换底公式，把以2为底的对数转换为以自然常数为底的对数 y=log2(x)=log(x)/log(2)，

> dx<-deriv(y~log(x)/log(2),"x",func = TRUE)
> dx(3)
[1] 1.584963
attr(,"gradient")
             x
[1,] 0.4808983         # 导函数计算结果y‘=1/(x*log(2)=1/(3*log(2)=0.4808983

正弦函数

计算 y=sin(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=cos(x)，当x=pi时，y’=-1，其中pi=π表示圆周率。

> dx<-deriv(y~sin(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi)
[1] 1.224606e-16
attr(,"gradient")
      x
[1,] -1   # 导函数计算结果y‘=cos(x)=cos(pi)=-1

余弦函数

计算 y=cos(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=-sin(x)，当x=pi/2时，y’=-1。

> dx<-deriv(y~cos(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi/2)
[1] 6.123032e-17
attr(,"gradient")
      x
[1,] -1  # 导函数计算结果y‘=-sin(x)=-sin(pi/2)=-1

正切函数

计算 y=tan(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为 y’=sec(x)^2=1/cos(x)^2，当x=pi/6时，y’=1.333333。

> dx<-deriv(y~tan(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi/6)
[1] 0.5773503
attr(,"gradient")
            x
[1,] 1.333333  # 导函数计算结果y‘=1/cos(x)^2=1/cos(pi/6)^2=1.333333

余切函数

计算 y=cot(x) 函数的导数，由于R语言没有cot()函数，所以根据三角公式我们动手变形原函数为y=cot(x)=1/tan(x)后再进行导数计算，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=-csc(x)^2=-1/sin(x)^2，当x=pi/6时，y’=-4。

> dx<-deriv(y~1/tan(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi/6)
[1] 1.732051
attr(,"gradient")
      x
[1,] -4  # 导函数计算结果y‘=-1/sin(x)^2=-1/sin(pi/6)^2=-4

反正弦函数

计算 y=asin(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=1/sqrt(1-x^2)，当x=pi/6时，y’=1.173757。

> dx<-deriv(y~asin(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi/6)
[1] 0.5510696
attr(,"gradient")
            x
[1,] 1.173757  # 导函数计算结果y‘=1/sqrt(1-x^2)=1/sqrt(1-(pi/6)^2)=1.173757

反余弦函数

计算 y=acos(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=-1/sqrt(1-x^2)，当x=pi/8时，y’=-1.08735。

> dx<-deriv(y~acos(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi/8)
[1] 1.167232
attr(,"gradient")
            x
[1,] -1.08735    # 导函数计算结果y‘=-1/sqrt(1-x^2)=-1/sqrt(1-(pi/8)^2)=-1.08735

反正切函数

计算 y=atan(x) 函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y’=1/(1+x^2)，当x=pi/6时，y’=0.7848335。

> dx<-deriv(y~atan(x),"x",func = TRUE)
> dx(pi/6)
[1] 0.4823479
attr(,"gradient")
             x
[1,] 0.7848335   # 导函数计算结果y‘= 1/(1+x^2) = 1/(1+(pi/6)^2)=0.7848335

3. 二阶导数计算

当我们对一个函数进行多次接连的求导计算，会形成高阶导数。
一般的，函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍然是x的函数，我们就把y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y”，即

一阶导数的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数，N-1阶导数的导数叫做N阶导数，习惯上把二阶以上的导数称之为高阶导数，

比如，计算 y=sin(a*x) 函数的二阶导数导数y”，其中a为常数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为一阶导数为y’=a*cos(a*x)，对y’再求导公式变形为，y”=-a^2*sin(a*x)

用R语言进行程序实现

> a<-2                 # 设置a的值
> dx<-deriv(y~sin(a*x),"x",func = TRUE) # 生成一阶导数公式
> dx(pi/3)                              # 计算一阶导数
[1] 0.8660254
attr(,"gradient")
      x
[1,] -1     # 导函数计算结果y‘= a*cos(a*x)=2*cos(2*pi/3)=-1

> dx<-deriv(y~a*cos(a*x),"x",func = TRUE)    # 对一阶导函数求导
> dx(pi/3)
[1] -1
attr(,"gradient")
             x
[1,] -3.464102     # 导函数计算结果y‘= -a^2*sin(a*x)=-2^2*sin(2*pi/3)=-3.464102

上面二阶导数的计算，我们是动手划分为两次求导进行计算的，利用deriv3()函数其实合并成一步计算。

> dx<-deriv3(y~sin(a*x),"x",func = TRUE)  # 生成二阶导数公式
> dx(pi/3)                                # 计算导数
[1] 0.8660254
attr(,"gradient")
      x
[1,] -1         # 一阶导数结果
attr(,"hessian")
, , x
             x
[1,] -3.464102  # 二阶导数结果

我们再计算另外一个二阶导数，计算y=a*x^4+b*x^3+x^2+x+c，其中a,b,c为常数a=2,b=1,c=3，
根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为一阶导数为y’=2*x^4+x^3+x^2+x+3=4*2*x^3+3*x^2+2*x+1,当x=2时，y’=81，
对y’再求导公式变形为，y”=3*4*2*x^2+2*3*x+2，当x=2时，y”=110。

> dx<-deriv3(y~a*x^4+b*x^3+x^2+x+c,"x",func=function(x,a=2,b=1,c=3){})  # 通过func参数，指定常数值
> dx(2)
[1] 49
attr(,"gradient")
      x
[1,] 81           # 一阶导数结果
attr(,"hessian")
, , x
       x
[1,] 110          # 二阶导数结果

这样就直接完成了二阶导数的计算，在R语言中二阶导数是可以直接求出的，想计算更高阶的导数就需要其他的数学工具包了。

4. 偏导数计算

在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数的算子符号为:∂。记作∂f/∂x 或者 f’x。偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率，在向量分析和微分几何中是很有用的。

在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习函数f(x,y)在x0y平面沿着平行于x0y轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x,y)的变化率。

x方向的偏导：
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f’x(x0,y0)。

y方向的偏导：
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作f’y(x0,y0)

同样地，我们可以通过R语言的 deriv()函数进行偏导数的计算。下面我们计算一个二元函数f(x,y)=2*x^2+y+3*x*y^2的偏导数，由于二元函数曲面上每一点都有无穷多条切线，描述这个函数的导数就会相当困难。如果让其中的一个变量y取值为常数，那么就可以求出关于另一个自变量x的偏导数了，即∂f/∂x。

下面我们分别对x,y两个自变量求偏导数，设变量y为常数，计算x的偏导数∂f/∂x=4*x+3*y^2，当x=1,y=1时，x的偏导数∂f/∂x=4*x+3*y^2=7。设变量x为常数，计算y的偏导数∂f/∂y=1+6*x*y，当x=1,y=1时，y的偏导数∂f/∂x=1+6*x*y=7。

用R语言程序实现。

> fxy = expression(2*x^2+y+3*x*y^2)     # 二元函数公式
> dxy = deriv(fxy, c("x", "y"), func = TRUE)
> dxy
function (x, y)
{
    .expr4 <- 3 * x
    .expr5 <- y^2
    .value <- 2 * x^2 + y + .expr4 * .expr5
    .grad <- array(0, c(length(.value), 2L), list(NULL, c("x","y")))
    .grad[, "x"] <- 2 * (2 * x) + 3 * .expr5
    .grad[, "y"] <- 1 + .expr4 * (2 * y)
    attr(.value, "gradient") <- .grad
    .value
}
> dxy(1,1)                          # 设置自变量
[1] 6
attr(,"gradient")
     x y                            # 计算结果，x的偏导数为7，y的偏导数为7
[1,] 7 7

偏导数的程序计算结果与手动计算结果是一致的。下面我们再求一个复杂函数偏导数，计算一个二元函数f(x,y)=x^y + exp(x * y) + x^2 – 2 * x * y + y^3 + sin(x*y)在点(1,3)和点(0,0)的偏导数。

R语言程序实现。

> fxy = expression(x^y + exp(x * y) + x^2 - 2 * x * y + y^3 + sin(x*y))
> dxy = deriv(fxy, c("x", "y"), func = TRUE)
> dxy(1,3)        # 设置自变量
[1] 43.22666
attr(,"gradient")
            x        y
[1,] 56.28663 44.09554        # 计算结果，x的偏导数为56.28663，y的偏导数为 44.09554
> dxy(0,0)
[1] 2
attr(,"gradient")
       x    y
[1,] NaN -Inf                 # 计算结果，x的偏导数无意义，y的偏导数负无穷大

对于计算的结果，有异议的同学，可以尝试动手计算。

本文我们掌握了R语言对于高等数学的导数计算方法，真的是非常方便，这下更有动力学习高数了。

时间： 2024-10-17 06:21:27

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数据的分布特征: 分布的集中趋势,反应各数据向其中心值靠拢或聚集的程度(平均数,中位数,四分位数,众数) 分布的离散程度,反应各数据远离其中心值的趋势(极差,四分位差,方差,标准差,离散系数) 分布的形状,反应数据分布的偏斜程度和峰度(偏态系数,峰度系数) ####################### 平均数(均值):一组数据相加后除以数据的个数而得到结果,称为平均数(mean) 中位数:一组数据排序后处于中间位置上的变量值,称为中位数(median) 四分位数:一组数据排序后处于25%(下四

R语言数据挖掘实战系列（5）

R语言数据挖掘实战系列(5)--挖掘建模 一.分类与预测 分类和预测是预测问题的两种主要类型,分类主要是预测分类标号(离散属性),而预测主要是建立连续值函数模型,预测给定自变量对应的因变量的值. 1.实现过程 (1)分类 分类是构造一个分类模型,输入样本的属性值,输出对应的类别,将每个样本映射到预先定义好的类别.分类模型建立在已有类标记的数据集上,模型在已有样本上的准确率可以方便地计算,所以分类属于有监督的学习. (2)预测 预测是建立两种或两种以上变量间相互依赖的函数模型,然后进行预测或控制.

R 语言开发环境搭建

R 语言在统计计算和绘图方面有着显著的优势,因此在大数据领域也有其一席之地. 本文将演示如何搭建R 语言开发环境. 搭建R 语言开发环境,主要有两个步骤: - 安装 R 到操作系统 - 安装支持 R 的IDE 具体步骤: [1] 安装 R 到操作系统 1. 对于Windows,安装包下载地址:http://ftp.ctex.org/mirrors/CRAN/bin/windows/base/R-3.1.1-win.exe 2. Install R,安装完后打开R console: 3. 可以输入

R语言并行计算中的内存控制

R语言使用向量化计算,因此非常容易在集群上进行并行计算.parallel 包提供了非常方便的函数用来进行并行计算,但有一个问题是并行时对于内存中的对象会拷贝多份,因此会比较占内存,这里提供一个比较简易的方法在内存中共享对象从而达到降低内存占用的目的. cl<-makeCluster(10, type="FORK") result_list <- parLapply(cl, list, function) stopCluster(cl) 非常简单,在创建集群的时候添加type

使用R语言计算均值，方差等

R语言对于数值计算很方便,最近用到了计算方差,标准差的功能,特记录. 数据准备 height <- c(6.00, 5.92, 5.58, 5.92) 1 计算均值 mean(height) [1] 5.855 2 计算中位数 median(height) [1] 5.92 3 计算标准差 sd(height) [1] 0.1871719 4 计算方差 var(height) [1] 0.03503333 5 计算两个变量之间的相关系数 cor(height,log(height)) [1] 0

用蒙特卡洛方法计算派－python和R语言

用蒙特卡洛方法算pi-基于python和R语言 最近follow了MOOC上一门python课,开始学Python.同时,买来了概率论与数理统计,准备自学一下统计.(因为被鄙视过不是统计专业却想搞数据分析) 有趣的是书里面有一块讲蒲丰投针计算Pi,这是一种随机模拟法,也就是蒙特卡洛法.蒲丰投针之于我太难,暂时没想到怎么用计算机模拟这一过程. python课中,老师也提到用随机模拟法,也就是蒙特卡洛法(MonteCarlo),用计算机模拟几千次实验,计算pi的近似值.好巧. 就拿python课中的

皮尔森相似度计算举例(R语言)

整理了一下最近对协同过滤推荐算法中的皮尔森相似度计算,顺带学习了下R语言的简单使用,也复习了概率统计知识. 一.概率论和统计学概念复习 1)期望值(Expected Value) 因为这里每个数都是等概率的,所以就当做是数组或向量中所有元素的平均数吧.可以使用R语言中函数mean(). 2)方差(Variance) 方差分为population variance总体方差和sample variance样本方差,区别是总体方差除以N,样本方差除以N-1. 数理统计中常用样本方差,R语言的var()

R语言计算移动平均的方法

移动平均可以使时间序列变平滑,是典型的有序计算问题,其基本算法是:将N个连续的时间序列成员作为一个集合,计算该集合的平均值,并逐项推移该集合.下面用一个例子来说明R计算移动平均的方法. 案例描述: 数据框sales有两个字段:日期和当日销售额,需要计算三日移动平均值.具体算法是:求出前一日.当日.后一日的销售额平均值,并逐日推移.部分源数据如下:     代码: filter(sales$Amount/3, rep(1, 3))     计算结果: 代码解读: R语言可以用函数filter计算移