秩亏自由网平差
在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为
（8-2-1）
式中系数阵
为列满秩矩阵，其秩为
。在最小二乘准则下得到的法方程为
（8-2-2）
由于其系数阵的秩为
，所以
为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆
，因此具有唯一解，即
（8-2-3）
当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为
（8-2-4）
式中
为必要的起算数据个数。尽管增加了个参数，但的秩仍为必要观测个数，即
其中为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为。
组成法方程
（8-2-5）
式中 
，且
，所以
也为秩亏阵，秩亏数为：
（8-2-6）
由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：
在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得
的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘
和最小范数
的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。
下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。
一、直接解法
根据广义逆理论，相容方程组虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：
（8-2-7）
式中
，称为矩阵的最小范数g逆。
称为矩阵
的g逆。代入（8-2-7）式得
（8-2-8）
上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：
令
（8-2-9）
（8-2-10）
式中
行满秩，即
，于是有
（8-2-11）
而
，所以
为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵
其中
存在凯利逆，则有
的g逆
（8-2-12）
根据上式可得
（8-2-13）
代入（8-2-8）式，得
（8-2-14）
或写成
（8-2-15）
未知参数的协因数阵为：
（8-2-16）
二、附加条件法（伪观测值法）
前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于
的限制条件方程的具体形式。
为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组的最小范数解。
设等价于约束条件的限制条件方程为
（8-2-17）
式中
且满足
称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为
权阵为
按照附有条件的间接平差可得法方程
（8-2-18）
式中，且，唯一不同的是这里为秩亏阵。
为解决秩亏问题，将（8-2-18）中的第二式左乘矩阵后，再加到第一组中得：
（8-2-19）
式中
，且
根据附有条件的间接平差原理，上式的解为
（8-2-20）
（8-2-21）
由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当阵满足
时，必定有下式成立（证明从略）
（8-2-22）
将（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为
（8-2-23）
现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解就是法方程的最小范数解。为此只需证明
是的最小范数g逆中的一个即可，即只需证明满足以下两式：
（8-2-24）
现证明如下：因为 ，所以有
右乘阵并展开，则有
而
，所以有
（8-2-25）
由于
，存在逆阵，则有
（8-2-26）
所以有
（8-2-27）
（8-2-28）
因此（8-2-24）第一式得到验证。
由（8-2-27）式得
考虑到（8-2-26）式，则上式为
（8-2-29）
（8-2-28）、（8-2-29）两式说明是的最小范数g逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程组的最小范数解。
三、精度评定
单位权中误差估值的计算
（8-2-30）
式中
可以直接计算，也可以按下式求得
（8-2-31）
未知参数的协因数阵为
（8-2-32）
实际计算时，通常要对进行标准化，设标准化后的阵用
表示，即不仅要求满足
，还要求满足
，此时（8-2-26）式变成
，转置后有
，因此（8-2-32）式将变成如下形式
（8-2-33）
四、两点说明
①若将代入法方程，则法方程变为
上式相当于下列误差方程联合组成的法方程
上式的第一式为观测值
的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。
②该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵及其标准化后的矩阵的具体形式：
水准网（设有u个点）
；
（8-2-34）
测边网（设有m个点）
（8-2-35）
式中
为第I点的近似坐标
（8-2-36）
式中
是以中心坐标为原点的第I点的近似坐标，它们的计算如下：
，
测角网（设有m个点）
只需在（8-2-35）式中增加一行
元素、在（8-2-36）式中增加一行
元素即可得到相应的阵和阵。
例[8-3] 如图8-2水准网，
点全为待定点，同精度独立高差观测值为
，
，
，平差时选取三个待定点的高程平差值为未知参数
，并取近似值
试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵。
解：1．直接解法
误差方程为
法方程为
由法方程易知
， 
， 
所以有
未知参数的改正数为
未知参数的平差值为
未知参数的协因数阵为
2．附加条件法
解法一中已求得法方程为
的具体形式为：
该水准网有3个待定点，所以附加阵为
则有
所以有
未知参数的的协因数阵为
结果与直接解法完全相同。