[偏微分方程教程习题参考解答]1.3定解问题

1. 考虑 Poisson 方程的 Neumann 边值问题 $$\bex \sedd{\ba{ll} \lap u=f(x,y,z),&(x,y,z)\in\Omega,\\ \frac{\p u}{\p n}|_{\vGa}=0,&(x,y,z)\in\vGa. \ea} \eex$$

(1). 问上述边值问题的解是否唯一?

(2). 由散度定理证明上述边值问题有解的必要条件是 $$\bex \iiint_\Omega f(x,y,z)\rd x\rd y\rd z=0. \eex$$

证明:

(1). 不唯一. 解之间可以相差任意一个常数.

(2). $$\bex \iiint_\Omega f(x,y,z)\rd x\rd y\rd z =\iiint_\Omega \lap u\rd x\rd y\rd z =\iint_{\p\Omega} \frac{\p u}{\p n}\rd S=0. \eex$$

2. 设物体表面的绝对温度为 $u$, 此时它向外界辐射出的热量按 Stefan-Bolzmann 定律正比于 $u^4$, 即 $$\bex \rd Q=\sigma u^4\rd S\rd t. \eex$$ 今假设物体与周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 周围介质的温度为 $f(x,y,z,t)$, 试给出该热辐射问题的边界条件.

解答: $$\bex -k\frac{\p u}{\p n}=-\sigma u^4+\sigma f^4. \eex$$