π的平方是无理数吗？

今天上午做数学题，发现有一个假命题是“任何无理数的平方都是有理数”。很容易找到反例，比如肯定是无理数。但是对于无理数π呢?π的平方，三次方，或其他次方，是无理数，还是有理数?

我的第一感觉就是无理数，上网查了一下，圆周率π不仅是个无理数，而且是个超越数。

那么什么是超越数呢?维基百科给出了以下定义：

在数论中，超越数是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根，它即是超越数。

超越数是代数数的相反，也即是说是一个超越数，那么对于任何整都符合：

（其中an≠0）

其中比较著名的有：π，e，e的π次方，2的√2次方，，刘维尔数

在我国著名数学家华罗庚先生的《数论导引》和阂嗣鹤与严士健先生著的《初等数论》中，对π是无理数和超越数都有严格的证明。有兴趣的同学可以看看。

如果π^2是有理数，这意味着 π^2=n/m → mπ^2=n ，即π是整系数方程mx^2=n的根，这与π是超越数矛盾。

用类似的方法可知：π的任何有理数次方都是无理数。

π的平方是无理数吗？

时间： 2024-12-25 07:23:09

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