本栏目内容来源于Andrew
NG老师讲解的SVM部分,包括SVM的优化目标、最大判定边界、核函数、SVM使用方法、多分类问题等,Machine
learning课程地址为:https://www.coursera.org/course/ml
大家对于支持向量机(SVM)可能会比较熟悉,是个强大且流行的算法,有时能解决一些复杂的非线性问题。我之前用过它的工具包libsvm来做情感分析的研究,感觉效果还不错。NG在进行SVM的讲解时也同样建议我们使用此类的工具来运用SVM。
(一)优化目标(Optimization objective)
首先回顾一下逻辑回归(logistic
regression):
objective function:
Decision
boundary:
- if y = 1,we
want hθ(x) ≈ 1 即
θTx ? 0 - if y = 0,we
want hθ(x) ≈ 0 即 θTx
? 0
Cost
Function:
Goal: Min J(θ)
其中J(θ)中的log项如下图中的蓝色曲线所示,可见该部分始终≠0。而对于SVM,我们使用紫色折线所示的分段的折线作为代价函数(cost
function中的log部分)。
SVM的cost
Function:
为最小化J(θ),理想中令J(θ)→0,那么:
- if y = 1,对于cost1(z),when
z ≥ 1,cost1(z) = 0; - if y = 0,对于cost0(z),when z
≤ -1,cost1(z) = 0;
调整SVM的cost Function:
- 去掉1/m(对最优化结果不影响);
- 令C = 1/λ,使得cost
function中的正则项主要控制代价函数(J(θ)左部分)部分;
调整后SVM的cost
Function:
PS:调整后的J(θ)是一个凸函数(convex
function),故求解时不会陷入局部最优。
(二)SVM最大判定边界(Large Margin
Classifier)
假设C取一个很大的值,为Min J(θ),就要求J(θ)中左边的部分尽量小,理想中→0,那么:
- y=1时,令Cost1(θTx)=0,即θTx
≥ 1(not just ≥ 0); - y=0时,令Cost0(θTx)=0,即θTx
≤ -1(not just < 0);
decision
boundary:
definition:能将所有样本点很好分类的h(x)边界,由于SVM可以找到一个与样本点之间有最大间隔的判定边界,故也叫做最大间隔分类器(Large
Margin Classifier)。
例如,对于下图所示的分类问题,绿色、紫色和黑色直线都可以作为分类boundary,SVM就是尝试找到黑色直线这样的boundary,它距两个类相对较远。
C对boundary的影响:
假设我们的样本点分布如下图所示:
若data中存在一个明显的异常值,若C较大,SVM的判定边界为紫色直线;若C较小,SVM的判定边界为黑色直线。所以,我们可以的到结论:C值越小,SVM对异常数据越不敏感。
可以看出,C的取值可以在分类是否犯错和margin的大小上做一个平衡。
(三)SVM形成Large Margin 的数学原因
从上一节中可以看出,当C较大时,会形成Large Margin
Classification。
有人可能会问“为什么SVM是Large Margin
Classification?”,下面就从数学的角度来解释。
1.向量内积(inner
product)
假设向量u、v是二维向量,那么u·v=uTv=u1v1+u2v2。在坐标系上表现为:将v投影到u上,其投影长度为p(u、v同向则p>0,反向则p<0),即u·v=uTv=||u||·||v||·cosθ
= ||u||·p
= u1v1+u2v2。其中 ||u||
= sqrt(u12+u22)。
2.SVM Decision
Boundary
回到之前的问题,“为什么选用较大的C会得到Large
Margin
Classification?”,当C较大,Min J(θ)时,要求J(θ)→0,那么 J(θ)只剩下右边的θ求和部分,现假设θ0=0,只剩下θ1和θ2:
Goal:
由于θTx(i) = p(i)·||θ||
= θ1x1(i) + θ2x2(i),p是x在θ上的投影,则cost
Function的边界改为:
- y=1时,要求Cost1(θTx)=0,那么p·||θ|| ≥
1 - y=0时,令Cost0(θTx)=0,那么p·||θ|| ≤
-1
那么对下图所示的data set,绿色直线表示decision
boundary,蓝色线表示θ向量。紫色为样本点在θ上面的投影。
已知 boundary与θ向量呈90°.对于左边图所示的decision
boundary,可见样本点在θ上面的投影非常小,即P很小,因此很难满足(y=1时,p·||θ|| ≥ 1;y=0时,p·||θ|| ≤
-1)的条件。因为,在p很小的情况下,只能使||θ||很大,这样就违背了 min
1/2*||θ||2,故这不是SVM得到的 boundary。同理,右边这个图中的 boundary就是比较好的,两边的数据在θ上面的投影都很大,这样||θ||就可以很小,这样按照cost
Function求解就可以得到有large margin的 boundary了。
(四)核函数(Kernels)
在之前的学习中,我们知道对于非线性的问题我们可以通过构造多项式来拟合Decision
boundary。
为得到上图中的边界,我们的模型可能是θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x1x2+θ4x12+θ5x22+...,用新特征f来替换模型中的项,如f1=x1,f2=x2,f3=x1x2,f4=x12,f5=x22,...,那么hθ(x)=f1+f2+...+fn。除了对特征进行组合之外,还有没有其他的方法构造f1,f2,f3么?
给定样本x,计算x与我们预先选定的地标(landmarks)l(1),l(2),l(3)的近似度作为特征f1,f2,f3。
eg:
其中||x-l(1)||2 是x的所有特征与地标l(1)之间的距离之和,similarity(x,l(1))是高斯核函数(Gaussian
Kernel)。
- if
x 距离 l(1)很近,那么f1≈e0 ≈
1; - if
x距离l(1)很远,那么f1≈e-(large number) ≈
0;
现假设训练集样本有两个特征x1,x2,给定地标l(1)和σ值。下图中水平面坐标为x1,x2,垂直坐标为f。因此当x与l(1)重合时具有最大值。随x改变f的变化速率受σ2影响。
SVM核函数的运用:
如下图所示,当预测实例x处于紫色点位置,可以看出x离l(1)较近,离l(2),l(3)较远,故f1≈1,f2,f3≈0。因此hθ(x)=θ0+θ1f1+θ2f2+θ3f3>0,预测y=1。同理当预测实例x处于绿色点位置,也预测y=1。若预测实例x处于蓝色点位置,可见x离l(1),l(2),l(3)三个地标都较远,预测y=0。
这样,图中红色的曲线便是我们依据训练实例和地标得到的判定边界。
PS:预测时,我们采用的特征并非训练实例本身,而是通过核函数计算出的新特征f1,f2,f3。
Landmark的选择:
通常,我们根据data
set的数量来选择地标的数量。即若data
set中有m个样本,则选取m个landmark。且令l(1)=x(1),l(2)=x(2),...,l(m)=x(m)。那么对于训练样本x(i):
- f0(i)
= 1 - f1(i)=similarity(x(i),l(1))
- f2(i)=similarity(x(i),l(2))
- ...
- fi(i)=similarity(x(i),l(i))
= similarity(x(i),x(i))=1 - ...
- fm(i)=similarity(x(i),l(m))
SVM的使用步骤:
objective
function:给定x,计算x的新特征f,若θTf ≥
0,预测y=1。否则y=0.
cost
function:
有人会问:“为什么在逻辑回归中没有使用核函数呢?”其实在逻辑回归中我们也可以使用核函数,但是计算会非常耗时。
其他核函数:
以下这些核函数的目标也是根据training set和landmarks之间的距离来创建新的特征,这些核函数要满足Mercer‘s定理。
- 多项式核函数(Polynomial Kernel)
- 字符串核函数(String kernel)
- 卡方核函数( chi-square kernel)
- 直方图交集核函数(histogram intersection kernel)
(五)SVM的使用
我们在这里不介绍SVM Min J(θ)的方法,可以使用软件包(libsvm,liblinear等)。在使用这些软件包时,我们通常需要选择适当的核函数和C参数。
PS:
- 若使用高斯核函数,在使用前需对数据进行缩放。
- 如果我们不采用复杂的函数或training
set特征多而样本数较少时,也可以不使用核函数(或linear kernel)的SVM。
C和σ2对SVM的影响:
- C较大(λ较小)时,可能会过拟合(Low
bias, high variance); - C较小(λ较大)时,可能会欠拟合(High
bias, low variance); - σ2较大时,High
bias, low variance; - σ2较小时,Low
bias, high variance;
(六)多分类问题(Multi-class
classification)
可使用one-vs.-all
方法:类似雨之前讲的逻辑回归的多分类问题的解决,对于k个类,需要训练k个模型,得到k个参数向量θ,选择θTx的最大值对应的分类。实际上,很多软件包都有内置的多分类功能,可以直接使用。
(七)逻辑回归
vs. SVM
n: number of
features ;
m: number
of training examples;
逻辑回归/(linear knenal)的SVM | 高斯核函数的SVM |
对m而言n要大很多; n较小,m较大:如n在1-1000之间,而m>50000; | n较小,m大小适中:如n在1-1000之间,m在10-10000之间; |
PS:神经网络在上述三种情况下都有很好的表现,但是训练神经网络可能会非常慢。
HOMEWORK
好了,既然看完了视频课程,就来做一下作业吧,下面是Support
Vector Machines部分作业的核心代码:
1.gaussianKernel.m
sim=exp(-sum((x1-x2).^2)/(2*sigma^2));
2.dataset3Params.m
1 step = [0.01,0.03,0.1,0.3,1,3,10,30];
2 J = zeros(length(step));
3 for i = 1:length(step)
4 for j = 1:length(step)
5 C = step(i);
6 sigma = step(j);
7 model = svmTrain(X,y,C,@(x1,x2)gaussianKernel(x1,x2,sigma));
8 predict = svmPredict(model,Xval);
9 J(i,j) = mean(double(predict ~= yval));
10 end
11 end
12
13 min_c=1;
14 min_s=1;
15 for i=1:length(step)
16 for j=1:length(step)
17 if J(i,j)<J(min_c,min_s)
18 min_c=i;
19 min_s=j;
20 end
21 end
22 end
23
24 C=step(min_c);
25 sigma=step(min_s);
3.processEmail.m
1 for i=1:length(vocabList)
2 temp = strcmp(str,vocabList{i});
3 if temp == 1
4 word_indices = [word_indices;i];
5 end
6 end;
4.emailFeatures.m
?
1 |
|
(原创)Stanford Machine Learning (by Andrew NG) --- (week 7)
Support Vector Machines