一个整型数组里除了一个或者两个或者三个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)

粗糙的给出了分析，最近比较累，以后会改进的。

题目中包括三个小的问题，由简单到复杂：

1，如果只有一个出现一次，考察到异或的性质，就是如果同一个数字和自己异或的活结果为零，那么循环遍历一遍数组，将数组中的元素全部做异或运算，那么出现两次的数字全部异或掉了，得到的结果就是只出现一次的那个数字。

2，如果有两个只出现一次的数字，设定为a,b。也是应用异或，但是数组元素全部异或的结果x=a^b，因为a,b是不相同的数字，因此x肯定不为0。对于x，从低位到高位开始，找到第一个bit位为1的位置设定为第m位，这个第m位的bit肯定来自a或者来自b，不可能同时a,b的第m位（从低到高位）都为1。这样，就可以根据这个第m位就可以把数组分为两个部分，一组为第m位为0，一组为第m位为1.这样，就把问题分解成了求两个数组中只出现一次的数字了。下面首先给这部分的程序和实例分析：

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1. <span style="font-family:FangSong_GB2312;font-size:14px;">#include<stdio.h>
2. int get_first_position(int num)
3. {//从低位开始找到第一个位1的bit位
4. int index=1;
5. int i=0;
6. while(i<32)
7. {
8. if((num&(1<<i))==(1<<i))
9. break;
10. else
11. {
12. index++;
13. i++;
14. }
15. }
16. return index;
17. }
18. int is_bit_one(int num,int index)
19. {//判断给定的索引位置的bit位是否为1
20. num=(num>>index);
21. return num&1;
22. }
23. void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)
24. {
25. int exclusive_or_result=0;
26. *num1=0;
27. *num2=0;
28. for(int i=0;i<n;i++)
29. exclusive_or_result^=a[i];
30. int index=get_first_position(exclusive_or_result);
31. for(i=0;i<n;i++)
32. if(is_bit_one(a[i],index))
33. (*num1)^=a[i];
34. for(i=0;i<n;i++)
35. if(!is_bit_one(a[i],index))
36. (*num2)^=a[i];
37. }
38. void main()
39. {
40. int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5};
41. int num1,num2;
42. get_two_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2);
43. printf("%d\t%d\n",num1,num2);
44. }</span>

3，考虑给定数组中有三个单独出现一次的数字，这个会比有两个的稍微复杂。分步分析，设定这三个数为a,b,c:

（1）将数组中的数字全部异或，得到的结果x=a^b^c，但是x不是a，b，c中的其中一个，假设x=a，那么b^c=0说明b=c，与题目给定的条件矛盾。

(2)设定f(n)可以像2中的那样，从低位开始，找到第一个bit为1的位置，f(x^a),f(x^b),f(x^c)得到的值肯定都不为0，因为x^a,x^b,x^c本身就不为0。f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果不为0。因为f(x^a)^f(x^b)的结果中可能为0，也可能有两个bit为1。如果假设f(x^c)的结果bit为1的位置与f(x^a)^f(x^b)的其中一个重合，则f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果中只有1个bit为1，如果不重合的话那么有3个bit位为1。

(3)这便可以推断出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)中至少有一个bit位为1。假设从低位到高位的第mbit位为1.那么可以得出结论x^a,x^b,x^c中有一个或者三个的第m位为1（不可能有两个，因为有两个的话，异或的结果就为0了）。

（4）证明，x^a,x^b,x^c中只有一个第m-bit位为1.假设他们的第m位都为1，那么x的第m位为0，但是x=a^b^c其第m位肯定为1，所以假设不成立。那么相反，假设x的第m位为1，a,b,c的第m位都为0，也不成立，因为x=a^b^c。所以综上所述x^a,x^b,x^c中只有一个第m位为1。那么这个问题就好办了。根据这个第m位找到第一个只出现一次的数字。然后剩下两个就是问题2所描述的问题。下面给出代码：

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1. #include<stdio.h>
2. int get_first_bit(int num)
3. {
4. return num&~(num-1);
5. }
6. void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)
7. {
8. int result_code=0;
9. for(int i=0;i<n;i++)
10. result_code^=a[i];
11. int diff=get_first_bit(result_code);
12. *num1=0;
13. *num2=0;
14. for(i=0;i<n;i++)
15. {
16. if(a[i]&diff)
17. {
18. (*num1)^=a[i];
19. }
20. else
21. {
22. (*num2)^=a[i];
23. }
24. }
25. }
26. void get_three_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2,int *num3)
27. {
28. int result_code=0;
29. for(int i=0;i<n;i++)
30. result_code^=a[i];
31. int flag=0;
32. for(i=0;i<n;i++)
33. flag^=get_first_bit(result_code^a[i]);
34. flag=get_first_bit(flag);
35. *num1=0;
36. for(i=0;i<n;i++)
37. {
38. if(get_first_bit(result_code^a[i])==flag)
39. {
40. (*num1)^=a[i];
41. }
42. }
43. for(i=0;i<n;i++)
44. {
45. if(a[i]==(*num1))
46. {
47. int temp=a[i];
48. a[i]=a[n-1];
49. a[n-1]=temp;
50. break;
51. }
52. }
53. get_two_unique_num(a,n-1,num2,num3);
54. }
55. void main()
56. {
57. int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5,7};
58. int num1,num2,num3;
59. get_three_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2,&num3);
60. printf("%d\t%d\t%d\n",num1,num2,num3);
61. }