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给定一个非负整数序列$D=\{d_1,d_2,...d_n\}$，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。
可图化的判定为：$d_1+d_2+ \cdots +d_n=0(mod2)$。即把奇数度的点配对，剩下的变为自环。
可简单图化的判定，即Havel-Hakimi定理：
我们把序列$D$变换为非增序列，即$d_1\geq d_2\geq \cdots \geq d_n$，则$D$可简单图化当且仅当$D‘=(d_2-1, d_3-1, \cdots ,d_{(d1+1)}-1, d_{d1+2}, d_{d1+3}, \cdots ,d_n)$可简单图化。
证明：
<--：若$D‘$可简单图化，把原图$G_D$中的最大度点与$G_{D‘}$中度最大的$d_1$个点连边即可，图$G_D$必为简单图。
-->：若$D$可简单图化，设得到的简单图为$D_G$。分两种情况考虑:
(a)若$G_D$中存在边$(v_1,v_2), (v_1,v_3), \dots ,(v_1,v_{d_1+1})$，则删除这些边得简单图$G_{D‘}$，于是$D‘$可简单图化为$G_{D‘}$
(b)若存在点$v_i,v_j(i<j)$且$(v_1,v_i)$不在$G_D$中，但$(v_1,v_j)$在$G_D$中。这时，因为$d_i \geq d_j$，必存在$k$使得$(v_i, v_k)$在$D_G$中但$(v_j,v_k)$不在$G_D$中。这时我们可以令$G‘‘=G_D-\{(v_i,v_k),(v_1,v_j)\}+\{(v_k,v_j),(v_1,v_i)\}$。$G‘‘$的度序列仍为$D$，使用情况(a)处理。
例如对于下图，我们删除两条打红X的边，添加两条虚线的边，即可转化为$G‘‘$
代码实现很简单，每次对数组arr排序，然后对于arr[1],arr[2],...,arr[arr[0]]每个数减一，并另arr[0]=0。重复n次，最后检验数组是否全部为0，是则输出YES和图，否则输出NO。
需要注意的是输出格式，每两个case之间需要输出一个空行。
代码如下：
1 #include <cstdio>
2 #include <cstdlib>
3 #include <iostream>
4 #include <cstring>
5 #include <algorithm>
6 #define MAXN 11
7 using namespace std;
8 class node
9 {
10 public:
11 int id;
12 int degree;
13 bool operator < (const node & a)const
14 {
15 return degree>a.degree;
16 }
17 };
18 int n;
19 node arr[MAXN];
20 int map[MAXN][MAXN];
21 void solve()
22 {
23 memset(map, 0, sizeof(map));
24 for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
25 {
26 sort(arr, arr+n);
27 for( int j = 1 ; j <= arr[0].degree ; j++ )
28 {
29 arr[j].degree -= 1;
30 map[arr[0].id][arr[j].id] = 1;
31 map[arr[j].id][arr[0].id] = 1;
32 }
33 arr[0].degree = 0;
34 }
35 for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
36 {
37 if( arr[i].degree < 0 )
38 {
39 printf("NO\n\n");
40 return ;
41 }
42 }
43 printf("YES\n");
44 for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
45 {
46 for( int j = 0 ; j < n ; j++ )
47 {
48 printf("%d%c", map[i][j], j==(n-1)?‘\n‘:‘ ‘);
49 }
50 }
51 printf("\n");
52 }
53 int main(int argc, char *argv[])
54 {
55 int t;
56 scanf("%d", &t);
57 while( t-- )
58 {
59 scanf("%d", &n);
60 for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
61 {
62 scanf("%d", &arr[i].degree);
63 arr[i].id = i;
64 }
65 solve();
66 }
67 }
poj 1659 Frogs' Neighborhood Havel-Hakimi定理 可简单图定理