【伪多项式时间】

Stack Overflow上有人关于这个概念(Pseudo-polynomial
time)进行过详细解释。

原答案:

algorithm - What is pseudopolynomial time?
How does it differ from polynomial time?

我大概翻译一下:

想要理解“伪多项式时间”,我们需要先给出“多项式时间”的一个清楚的定义。

对于“多项式时间”,我们的直观概念是时间复杂度,其中是一常数。比如,选择排序的时间复杂度是,是多项式时间;暴力解决TSP问题的时间复杂度是,不是多项式时间。我们称这种时间复杂度为“传统时间复杂度”。

我们通常认为传统时间复杂度中的变量表示数据的输入规模。比如,选择排序中,指待排序数组中元素的个数;TSP问题中表示图中节点的数量。但是,这些所谓的输入规模,仅仅是直观的定义,并不足够严谨。为了标准化这些,在计算标准时间复杂度时,我们给出了输入规模的标准定义:

一个问题的输入规模是保存输入数据所需要的bit位数。

比如,如果排序算法的输入是一个32-bit整数 数组,那么输入规模就是是指数组中元素的个数。对于一个带有个节点、条边的图,需要的bit位数就是

了解了输入规模的定义,我们来看“多项式时间”的标准定义:

对于一个问题,在输入规模为x的情况下,如果一个算法能够在O()时间内解决此问题,则我们称此算法是多项式时间的,其中为一常数。

当我们处理一些图论、链表、数组、树等问题时,这个标准定义下的多项式时间和我们传统的多项式时间相差无几。比如,用选择排序对元素个数为的数组进行排序时,传统时间复杂度为。输入规模,因此,得到的标准时间复杂度是,仍然是多项式时间。

类似的,假设在带有个节点、条边的图中做DFS(深度优先搜索),传统时间复杂度为。数据规模,因此,标准时间复杂度是,仍是多项式时间的。

然而,当我们处理一些与数论有关的问题时,事情就不太乐观了。现在我们来讨论判断一个整数是否为素数的算法,下面是一个简单的算法:

function isPrime(n):
    for i from 2 to n - 1:
        if (n mod i) = 0, return false
    return true

显然,这个算法在传统时间复杂度计算方法中是多项式时间的。我们不妨认为它的传统时间复杂度是。然后我们再来分析这个问题的输入规模,可能有的同学会说,对于32-bit整数,这个输入规模不就是32吗?这话虽然没错,但是因为在这个问题中,输入规模完全依赖于的大小,所以的范围不再限制在32-bit整数的范围内,而是要探讨当更大时对数据规模的影响。我们知道,保存一个整数所需要的bit位数,因此,在标准的时间复杂度中,此算法的复杂度变为了!这已经不再是多项式时间,而是一个指数时间。

我们可以从下面这个例子中直观感受一下这种指数时间的增长速度:

对于一个二进制串:

10001010101011

我们记指数时间复杂度算法运行时间为T。

然后,我们在二进制串后面仅仅增加一位

100010101010111

这时,算法运行时间会变为2T(至少)!因此,我们仅仅增加几个bit 就会使得算法运行时间成倍成倍的增长。

... ...

最后我们来说伪多项式时间的定义:

如果一个算法的传统时间复杂度是多项式时间的,而标准时间复杂度不是多项式时间的,则我们称这个算法是伪多项式时间的。

除此之外,原回答者还提到了伪多项式时间算法在加密中的应用,多项式时间的素数判断算法等,有兴趣的同学请移步原答案。

时间: 2024-10-18 14:35:27

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