ACdream 1093 女神的正多面体 矩阵快速幂

题目大意：给你三种正多边形，给你起点s，终点e以及最多行走的步数k，问有多少种路径方案（路径中只要有一个顶点不同即视为不同）。

题目分析：

可以通过矩阵快速幂求解。

为每个正多边形（最多三个）构建一个邻接矩阵A，然后第K步的方案数即为A^k。

结果即为A^1 + A^2 + A^3 + ...... + A^k.

对于这种形式的矩阵运算，我们可以把它拆分成：

k为奇：ans = （A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) + (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) * A^(k.2)
+ A^k；

k为偶：ans = （A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) + (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) *
A^(k.2)；

合并一下就是：

ans = （A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) * (A(k/2) + 1);

if(k & 1) ans = ans + A^k;

结果即为mat[s - 1][e - 1]（保存的时候下标均以减一）。

PS：本蒟蒻的代码效率貌似一直不高的样子QUQ。。。路过的众神们见谅QUQ。。。

代码如下：

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define REP(i, n) for(int i = 0; i < n; ++i)

typedef long long ll;

const int mod = 1000000007;

const int O = 8;

int N, K;

typedef struct M{

    ll mat[O][O];

    M operator * (const M &t) const{//重载矩阵乘法

        M tmp;

        memset(tmp.mat, 0, sizeof(tmp.mat));

        REP(i, N) REP(j, N) REP(k, N) tmp.mat[i][j] = (tmp.mat[i][j] + mat[i][k] * t.mat[k][j]) % mod;

        return tmp;

    }

//不使用函数的原因是为了让快速幂看起来更加自然
M operator + (const M &t) const{//重载矩阵加法

        M tmp;

        REP(i, N) REP(j, N) tmp.mat[i][j] = (mat[i][j] + t.mat[i][j]) % mod;

        return tmp;

    }

}M;

M A[3] = {

    {{//正四边形

    {0, 1, 1, 1},

    {1, 0, 1, 1},

    {1, 1, 0, 1},

    {1, 1, 1, 0},

    }},

    {{//正六边形

    {0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0},

    {1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0},

    {0, 1, 0, 1, 0 ,0, 1, 0},

    {1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1},

    {1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1},

    {0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0},

    {0, 0, 1, 0, 0 ,1, 0, 1},

    {0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0},

    }},

    {{//正八边形

    {0, 1, 1, 1, 1, 0},

    {1, 0, 1, 0, 1, 1},

    {1, 1, 0, 1, 0, 1},

    {1, 0, 1, 0, 1, 1},

    {1, 1, 0, 1, 0, 1},

    {0, 1, 1, 1, 1, 0},

    }},

}, E;

M pow(ll k){//矩阵快速幂求A^k.

    M res = E, tmp = A[K];

    for(; k; k >>= 1){

        if(k & 1) res = res * tmp;

        tmp = tmp * tmp;

    }

    return res;

}

M _pow(ll k){//递归快速幂求A^1 + A^2 + A^3 + ...... + A^k.

    if(k == 1) return A[K];

    M res = _pow(k >> 1) * (E + pow(k >> 1));

    if(k & 1) res = res + pow(k);

    return res;

}

void work(){

    int t, n, s, e;

    ll k;

    REP(i, O) REP(j, O) E.mat[i][j] = (i == j);//初始化单位矩阵

    scanf("%d", &t);

    while(t--){

        scanf("%d%lld%d%d", &n, &k, &s, &e);

        N = (n == 4 ? 4 : (n == 6 ? 8 : 6));//选择矩阵需要的范围

        K = (n == 4 ? 0 : (n == 6 ? 1 : 2));//选择正多边形的类型

        printf("%lld\n", _pow(k).mat[s - 1][e - 1]);

    }

}

int main(){

    work();

    return 0;

}

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