关于梁挠曲线方程解析解与有限元解的简单对比

对于受均布荷载的简支梁，假设梁的长度L=1，均布荷载大小为1，弹模E为1，惯性矩I为1，那么梁的挠曲线方程的解析解为

$$
v(x)=-\left(\frac{x^4}{24}-\frac{x^3}{12}+\frac{x}{24}\right)
$$

梁单元的形函数如下

根据形函数的定义，只要知道了单元两端节点的位移，即可用形函数求出单元上任意位置的挠度。即

$$
v(x)=N(x)\cdot q^{e}
$$

其中$q^{e}$为节点的位移列阵。

下面对比一下，由形函数得到的挠度曲线与挠曲线的解析解之间的差别，为了对比方便，这里采用形函数时，节点的位移均由挠曲线解析解求出，换言之，在节点处的位移是精确的。

1.假设将上图结构中梁看作一个单元

$$
\begin{split}
v(0)=0\quad & v‘(0)=-\dfrac{1}{24}\\
v(1)=0\quad & v‘(1)=\dfrac{1}{24}
\end{split}
$$

把形函数行矩阵与上面的节点位移列阵相乘，可以得到挠曲线方程

$$
v1(x)=\frac{x^2}{24}-\frac{x}{24}
$$

2.假设将上图中梁看着2个单元

每个单元的长度L=1/2
利用MM求得挠曲线方程的分段函数为

分别把解析解，1个单元，2个单元求得的挠曲线方程画出来

可以看到，采用2个单元时，挠曲线方程与解析解十分接近，几乎重合；而采用1个单元时，较解析解差别较大。考察在1/4处的数值

差别很明显。