前言
典例剖析
例16我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形的面积求一边的算法[少广算法]，其方法的前两步如下。第一步：构造数列\(1\)，\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{1}{n}①\)，第二步：将数列①的各项乘以\(\cfrac{n}{2}\)，得到一个新数列\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，\(\cdots\)，\(a_n\)，则\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n\)等于多少？
$A.\cfrac{n^2}{4}$ $B.\cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.\cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.\cfrac{n(n+1)}{4}$
法1：以少御多，将无限项转化为有限项，再由多转少，这样便于思考和运算；可以假定\(n=4\)，然后代入验证，选\(C\).
法2：写出新数列的通项公式\(a_k=\cfrac{1}{k}\cdot \cfrac{n}{2}\)，注意通项公式不是\(a_n=\cfrac{1}{n}\cdot \cfrac{n}{2}\)，
这样求和的数列的通项公式就是
\(k\ge 2\)，\(a_{k-1}a_k=\cfrac{n^2}{4}\cfrac{1}{(k-1)k}=\cfrac{n^2}{4}(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})\)
故\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n\)
\(=\cfrac{n^2}{4}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4})+\cdots+(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})]\)
\(=\cfrac{n^2}{4}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{n(n-1)}{4}\).
例16【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为\(48\)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为\(1\)，则该半正多面体共有__________个面，其棱长为_____________。
分析：半正多面体的制作过程，如下图所示；
解析：如果我们将其看成是三层的，则每一层都有\(8\)个面，再外加上下两个面，故共有\(3\times 8+2=26\)个面。
如图所示，设棱长为\(x\)，即\(MN=NE=x\)，由\(\triangle EHN\)为等腰直角三角形，
由\(NE=x\)，则可知\(NH=\cfrac{\sqrt{2}}{2}x\)，又\(MN+2NH=1\)，
则\(x+2\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}x=1\)，即\((\sqrt{2}+1)x=1\)，解得\(x=\sqrt{2}-1\).
综上可知，此半正多面体共有\(26\)个面，棱长为\(\sqrt{2}-1\)。
【解后反思】
1、求其表面积；
2、求其体积；
3、求其内切球的半径；
分析：由这个动画可以看出，该半正多面体没有内切球。
4、求其外接球的半径；
外接球的半径可以借助下图来求解。
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