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本文只讨论FFT在信息学奥赛中的应用
文中内容均为个人理解，如有错误请指出，不胜感激
前言
先解释几个比较容易混淆的缩写吧
DFT：离散傅里叶变换—>O(n2)O(n2)计算多项式乘法
FFT：快速傅里叶变换—>O(n?log(n)O(n?log?(n)计算多项式乘法
FNTT/NTT：快速傅里叶变换的优化版—>优化常数及误差
FWT：快速沃尔什变换—>利用类似FFT的东西解决一类卷积问题
MTT：毛爷爷的FFT—>非常nb/任意模数
FMT 快速莫比乌斯变化—>感谢stump提供
多项式
系数表示法
设A(x)A(x)表示一个n?1n?1次多项式
则A(x)=∑ni=0ai?xiA(x)=∑i=0nai?xi
例如：A(3)=2+3?x+x2A(3)=2+3?x+x2
利用这种方法计算多项式乘法复杂度为O(n2)O(n2)
（第一个多项式中每个系数都需要与第二个多项式的每个系数相乘）
点值表示法
将nn互不相同的xx带入多项式，会得到nn个不同的取值yy
则该多项式被这nn个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)唯一确定
其中yi=∑n?1j=0aj?xjiyi=∑j=0n?1aj?xij
例如：上面的例子用点值表示法可以为(0,2),(1,6),(2,12)(0,2),(1,6),(2,12)
利用这种方法计算多项式乘法的时间复杂度仍然为O(n2)O(n2)
（选点O(n)O(n)，每次计算O(n)O(n)）
我们可以看到，两种方法的时间复杂度都为O(n2)O(n2)，我们考虑对其进行优化
对于第一种方法，由于每个点的系数都是固定的，想要优化比较困难
对于第二种方法，貌似也没有什么好的优化方法，不过当你看完下面的知识，或许就不这么想了
复数
在介绍复数之前，首先介绍一些可能会用到的东西
向量
同时具有大小和方向的量
在几何中通常用带有箭头的线段表示
圆的弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制
公式:
1°=π180rad1°=π180rad
180°=πrad180°=πrad
平行四边形定则
(好像画的不是很标准。。)
平行四边形定则：AB+AD=AC
复数
定义
设a,ba,b为实数，i2=?1i2=?1，形如a+bia+bi的数叫复数，其中ii被称为虚数单位，复数域是目前已知最大的域
在复平面中，xx代表实数，yy轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)(0,0)到(a,b)(a,b)的向量表示复数a+bia+bi
模长：从原点(0,0)(0,0)到点(a,b)(a,b)的距离，即a2+b2??????√a2+b2
幅角：假设以逆时针为正方向，从xx轴正半轴到已知向量的转角的有向角叫做幅角
运算法则
加法：
因为在复平面中，复数可以被表示为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满足平行四边形定则（就是上面那个）
乘法：
几何定义：复数相乘，模长相乘，幅角相加
代数定义：
(a+bi)?(c+di)(a+bi)?(c+di)
=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci?bd=ac+adi+bci?bd
=(ac?bd)+(bc+ad)i=(ac?bd)+(bc+ad)i
单位根
下文中，默认nn为22的正整数次幂
在复平面上，以原点为圆心，11为半径作圆，所得的圆叫单位圆。以圆点为起点，圆的nn等分点为终点，做nn个向量，设幅角为正且最小的向量对应的复数为ωnωn，称为nn次单位根。
根据复数乘法的运算法则，其余n?1n?1个复数为ω2n,ω3n,…,ωnnωn2,ωn3,…,ωnn
注意ω0n=ωnn=1ωn0=ωnn=1（对应复平面上以xx轴为正方向的向量）
那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决
ωkn=cos k?2πn+isink?2πnωnk=cos? k?2πn+isin?k?2πn
例如
图中向量ABAB表示的复数为88次单位根
单位根的幅角为周角的1n1n
在代数中，若zn=1zn=1，我们把zz称为nn次单位根
单位根的性质
- ωkn=cosk2πn+isink2πnωnk=cos?k2πn+isin?k2πn（即上面的公式）
- ω2k2n=ωknω2n2k=ωnk
证明：
ω2k2n=cos2k?2π2n+isin2k?2π2nω2n2k=cos?2k?2π2n+isin?2k?2π2n
=ωkn=ωnk
- ωk+n2n=?ωknωnk+n2=?ωnk
ωn2n=cosn2?2πn+isinn2?2πnωnn2=cos?n2?2πn+isin?n2?2πn
=cosπ+isinπ=cos?π+isin?π
=?1=?1
- ω0n=ωnn=1ωn0=ωnn=1
讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。。
OK！各位坐稳了，前方高能！
快速傅里叶变换
我们前面提到过，一个nn次多项式可以被nn个点唯一确定。
那么我们可以把单位根的00到n?1n?1次幂带入，这样也可以把这个多项式确定出来。但是这样仍然是O(n2)O(n2)的呀！
我们设多项式A(x)A(x)的系数为(ao,a1,a2,…,an?1)(ao,a1,a2,…,an?1)
那么
A(x)=a0+a1?x+a2?x2+a3?x3+a4?x4+a5?x5+?+an?2?xn?2+an?1?xn?1A(x)=a0+a1?x+a2?x2+a3?x3+a4?x4+a5?x5+?+an?2?xn?2+an?1?xn?1
将其下标按照奇偶性分类
A(x)=(a0+a2?x2+a4?x4+?+an?2?xn?2)+(a1?x+a3?x3+a5?x5+?+an?1?xn?1)A(x)=(a0+a2?x2+a4?x4+?+an?2?xn?2)+(a1?x+a3?x3+a5?x5+?+an?1?xn?1)
设
A1(x)=a0+a2?x+a4?x2+?+an?2?xn2?1A1(x)=a0+a2?x+a4?x2+?+an?2?xn2?1
A2(x)=a1+a3?x+a5?x2+?+an?1?xn2?1A2(x)=a1+a3?x+a5?x2+?+an?1?xn2?1
那么不难得到
A(x)=A1(x2)+xA2(x2)A(x)=A1(x2)+xA2(x2)
我们将ωkn(k<n2)ωnk(k<n2)代入得
A(ωkn)=A1(ω2kn)+ωknA2(ω2kn)A(ωnk)=A1(ωn2k)+ωnkA2(ωn2k)
=A1(ωkn2)+ωknA2(ωkn2)=A1(ωn2k)+ωnkA2(ωn2k)
同理，将ωk+n2nωnk+n2代入得
A(ωk+n2n)=A1(ω2k+nn)+ωk+n2n(ω2k+nn)A(ωnk+n2)=A1(ωn2k+n)+ωnk+n2(ωn2k+n)
=A1(ω2kn?ωnn)?ωknA2(ω2kn?ωnn)=A1(ωn2k?ωnn)?ωnkA2(ωn2k?ωnn)
=A1(ω2kn)?ωknA2(ω2kn)=A1(ωn2k)?ωnkA2(ωn2k)
大家有没有发现什么规律？
没错！这两个式子只有一个常数项不同！
那么当我们在枚举第一个式子的时候，我们可以O(1)O(1)的得到第二个式子的值
又因为第一个式子的kk在取遍[0,n2?1][0,n2?1]时，k+n2k+n2取遍了[n2,n?1][n2,n?1]
所以我们将原来的问题缩小了一半！
而缩小后的问题仍然满足原问题的性质，所以我们可以递归的去搞这件事情！
直到多项式仅剩一个常数项，这时候我们直接返回就好啦
时间复杂度：
不难看出FFT是类似于线段树一样的分治算法。
因此它的时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)
快速傅里叶逆变换
不要以为FFT到这里就结束了。
我们上面的讨论是基于点值表示法的。
但是在平常的学习和研究中很少用点值表示法来表示一个多项式。
所以我们要考虑如何把点值表示法转换为系数表示法，这个过程叫做傅里叶逆变换
(y0,y1,y2,…,yn?1)(y0,y1,y2,…,yn?1)为(a0,a1,a2,…,an?1)(a0,a1,a2,…,an?1)的傅里叶变换（即点值表示）
设有另一个向量(c0,c1,c2,…,cn?1)(c0,c1,c2,…,cn?1)满足
ck=∑i=0n?1yi(ω?kn)ick=∑i=0n?1yi(ωn?k)i
即多项式B(x)=y0,y1x,y2x2,…,yn?1xn?1B(x)=y0,y1x,y2x2,…,yn?1xn?1在ω0n,ω?1n,ω?2n,…,ω?(n?1)n?1ωn0,ωn?1,ωn?2,…,ωn?1?(n?1)处的点值表示
emmmm又到推公式时间啦
(c0,c1,c2,…,cn?1)(c0,c1,c2,…,cn?1)满足
ck=∑i=0n?1yi(ω?kn)ick=∑i=0n?1yi(ωn?k)i
=∑i=0n?1(∑j=0n?1aj(ωin)j)(ω?kn)i=∑i=0n?1(∑j=0n?1aj(ωni)j)(ωn?k)i
=∑i=0n?1(∑j=0n?1aj(ωjn)i)(ω?kn)i=∑i=0n?1(∑j=0n?1aj(ωnj)i)(ωn?k)i
=∑i=0n?1(∑j=0n?1aj(ωjn)i(ω?kn)i)=∑i=0n?1(∑j=0n?1aj(ωnj)i(ωn?k)i)
=∑i=0n?1∑j=0n?1aj(ωjn)i(ω?kn)i=∑i=0n?1∑j=0n?1aj(ωnj)i(ωn?k)i
=∑i=0n?1∑j=0n?1aj(ωj?kn)i=∑i=0n?1∑j=0n?1aj(ωnj?k)i
=∑j=0n?1aj(∑i=0n?1(ωj?kn)i)=∑j=0n?1aj(∑i=0n?1(ωnj?k)i)
设S(x)=∑n?1i=0xiS(x)=∑i=0n?1xi
将ωknωnk代入得
S(ωkn)=1+(ωkn)+(ωkn)2+…(ωkn)n?1S(ωnk)=1+(ωnk)+(ωnk)2+…(ωnk)n?1
当k!=0k!=0时
等式两边同乘ωknωnk得
ωknS(ωkn)=ωkn+(ωkn)2+(ωkn)3+…(ωkn)nωnkS(ωnk)=ωnk+(ωnk)2+(ωnk)3+…(ωnk)n
两式相减得
ωknS(ωkn)?S(ωkn)=(ωkn)n?1ωnkS(ωnk)?S(ωnk)=(ωnk)n?1
S(ωkn)=(ωkn)n?1ωkn?1S(ωnk)=(ωnk)n?1ωnk?1
S(ωkn)=(ωnn)k?1ωkn?1S(ωnk)=(ωnn)k?1ωnk?1
S(ωkn)=1?1ωkn?1S(ωnk)=1?1ωnk?1
观察这个式子，不难看出它分母不为0，但是分子为0
因此，当K!=0K!=0时，S(ωkn)=0S(ωnk)=0
那当k=0k=0时呢？
很显然，S(ω0n)=nS(ωn0)=n
继续考虑刚刚的式子
ck=∑j=0n?1aj(∑i=0n?1(ωj?kn)i)ck=∑j=0n?1aj(∑i=0n?1(ωnj?k)i)
当j≠kj≠k时，值为00
当j=kj=k时，值为nn
因此，
ck=nakck=nak
ak=cknak=ckn
这样我们就得到点值与系数之间的表示啦
理论总结
至此，FFT的基础理论部分就结束了。
我们来小结一下FFT是怎么成功实现的
首先，人们在用系数表示法研究多项式的时候遇阻
于是开始考虑能否用点值表示法优化这个东西。
然后根据复数的两条性质（这个思维跨度比较大）得到了一种分治算法。
最后又推了一波公式，找到了点值表示法与系数表示法之间转换关系。
emmmm
其实FFT的实现思路大概就是
系数表示法—>点值表示法—>系数表示法
引用一下远航之曲大佬的图
当然，再实现的过程中还有很多技巧
我们根据代码来理解一下
递归实现
递归实现的方法比较简单。
就是按找我们上面说的过程，不断把要求的序列分成两部分，再进行合并
在c++的STL中提供了现成的complex类，但是我不建议大家用，毕竟手写也就那么几行，而且万一某个毒瘤卡STL那岂不是很ＧＧ？
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=2*1e6+10;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
return x*f;
}
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex
{
double x,y;
complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];
complex operator + (complex a,complex b){ return complex(a.x+b.x , a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b){ return complex(a.x-b.x , a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b){ return complex(a.x*b.x-a.y*b.y , a.x*b.y+a.y*b.x);}//不懂的看复数的运算那部分
void fast_fast_tle(int limit,complex *a,int type)
{
if(limit==1) return ;//只有一个常数项
complex a1[limit>>1],a2[limit>>1];
for(int i=0;i<=limit;i+=2)//根据下标的奇偶性分类
a1[i>>1]=a[i],a2[i>>1]=a[i+1];
fast_fast_tle(limit>>1,a1,type);
fast_fast_tle(limit>>1,a2,type);
complex Wn=complex(cos(2.0*Pi/limit) , type*sin(2.0*Pi/limit)),w=complex(1,0);
//Wn为单位根，w表示幂
for(int i=0;i<(limit>>1);i++,w=w*Wn)//这里的w相当于公式中的k
a[i]=a1[i]+w*a2[i],
a[i+(limit>>1)]=a1[i]-w*a2[i];//利用单位根的性质，O(1)得到另一部分
}
int main()
{
int N=read(),M=read();
for(int i=0;i<=N;i++) a[i].x=read();for(int i=0;i<=M;i++) b[i].x=read();int limit=1;while(limit<=N+M) limit<<=1;
fast_fast_tle(limit,a,1);
fast_fast_tle(limit,b,1);//后面的1表示要进行的变换是什么类型//1表示从系数变为点值//-1表示从点值变为系数 //至于为什么这样是对的，可以参考一下c向量的推导过程， for(int i=0;i<=limit;i++)
a[i]=a[i]*b[i];
fast_fast_tle(limit,a,-1);for(int i=0;i<=N+M;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/limit+0.5));//按照我们推倒的公式，这里还要除以n return0;}
这里还有一个听起来很装B的优化—蝴蝶操作
观察合并的过程，w*a2[i] 这一项计算了两次，因为理论上来说复数的乘法是比较慢的，所以我们可以把这一项记出来
for(int i=0;i<(limit>>1);i++,w=w*Wn)//这里的w相当于公式中的k
{
complex t=w*a2[i];//蝴蝶操作
a[i]=a1[i]+t,
a[i+(limit>>1)]=a1[i]-t;//利用单位根的性质，O(1)得到另一部分
}
woc? 脸好疼。。。。。。
咳咳。
速度什么的才不是关键呢？
关键是我们AC不了啊啊啊
表着急，AC不了不代表咱们的算法不对，只能说这种实现方法太low了
下面介绍一种更高效的方法
迭代实现
再盗一下那位大佬的图
观察一下原序列和反转后的序列？
聪明的你有没有看出什么显而易见的性质？
没错！
我们需要求的序列实际是原序列下标的二进制反转！
因此我们对序列按照下标的奇偶性分类的过程其实是没有必要的
这样我们可以O(n)O(n)的利用某种操作得到我们要求的序列，然后不断向上合并就好了
// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=1e7+10;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
return x*f;
}
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex
{
double x,y;
complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];
complex operator + (complex a,complex b){ return complex(a.x+b.x , a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b){ return complex(a.x-b.x , a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b){ return complex(a.x*b.x-a.y*b.y , a.x*b.y+a.y*b.x);}//不懂的看复数的运算那部分
int N,M;
int l,r[MAXN];
int limit=1;
void fast_fast_tle(complex *A,int type)
{
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);//求出要迭代的序列
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)//待合并区间的中点
{
complex Wn( cos(Pi/mid) , type*sin(Pi/mid) ); //单位根
for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R)//R是区间的右端点，j表示前已经到哪个位置了
{
complex w(1,0);//幂
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn)//枚举左半部分
{
complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];//蝴蝶效应
A[j+k]=x+y;
A[j+mid+k]=x-y;}}}}int main(){int N=read(),M=read();for(int i=0;i<=N;i++) a[i].x=read();for(int i=0;i<=M;i++) b[i].x=read();while(limit<=N+M) limit<<=1,l++;for(int i=0;i<limit;i++)
r[i]=( r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));// 在原序列中 i 与 i/2 的关系是 ： i可以看做是i/2的二进制上的每一位左移一位得来// 那么在反转后的数组中就需要右移一位，同时特殊处理一下奇数
fast_fast_tle(a,1);
fast_fast_tle(b,1);for(int i=0;i<=limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fast_fast_tle(a,-1);for(int i=0;i<=N+M;i++)
printf("%d ",(int)(a[i].x/limit+0.5));return0;}
原文地址：https://www.cnblogs.com/houxiliang/p/9161640.html