离散数学2：基本概念

公式层次：单个的命题变项A是0层公式。

如果A是n层公式，B是m层公式，那么￢A是n+1层公式；C=A∧B,C=A∨B,C=A→B,C=A↔B的层次是：max(n,m)+1。

比如（￢(p→￢q) ∧((r∨s) ↔￢q)的层次计算就是：

0   1     0  0     1

2         1      1

3             2

4

4层公式

设p1,p2,p3…pn是公式A中的全部与命题变项，那么给它们各指定一个真值，这就是A的一个赋值/解释。若使A=1，则是成真赋值，否则就是成假赋值。

所以含有n（n≥1）个命题变项的公式有2ⁿ个不同赋值。

真值表：把命题公式A在所有赋值下取值情况列成的表。

例：写出（￢p∧q）→￢r的真值表，并求它的成真赋值和成假赋值。

所以成假赋值为011。000,001,010,100,101,110,111为成真赋值。

如果A在所有赋值下均为真，则A是重言式或永真式，如果所有赋值下均为假，则为矛盾式或永假式。如果A不是矛盾式，那A就是可满足式。

如果A是可满足式，那么A至少有一个成真赋值。如果A是可满足式，而且有至少一个成假赋值，则A是非重言式的可满足式。

（真值表最后一列全1则为重言式，全0则为矛盾式，至少有1个1，则为可满足式）

命题逻辑等值演算

如果A和B构成的A→B是重言式，那么A与B是等值的，记作A⇔B。可以用真值表确定A↔B是不是重言式，来判断A是否与B等值，也可以判断A与B的真值表是否相同来确定A⇔B还是A?B。

16组常用的重要等值式模式：

1、A⇔￢￢A

2、A⇔A∨A，A⇔A∧A

3、A∨B⇔B∨A，A∧B⇔B∧A

4、(A∨B) ∨C⇔A∨(B∨C)，(A∧B) ∧C⇔A∧(B∧C)

5、A∨(B∧C)⇔(A∨B) ∧(A∨C)，A∧(B∨C)⇔(A∧B) ∨(A∧C) 分配率

6、￢（A∨B）⇔￢A∧￢B，￢(A∧B)⇔ ￢A∨￢B

7、A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A 吸收率

8、A∨1⇔1，A∧0⇔0

9、A∨0⇔A，A∧1⇔A

10、A∨￢A⇔1

11、A∧￢A⇔0

12、A→B⇔￢A∨B

13、A→B⇔(A→B) ∨(B→A)

14、A→B⇔￢B→￢A

15、A↔B⇔￢A↔￢B

16、(A→B) ∧(A→￢B)⇔ ￢A