本文会讲到：
(1)线性回归的定义
(2)单变量线性回归
(3)cost function：评价线性回归是否拟合训练集的方法
(4)梯度下降：解决线性回归的方法之一
(5)feature scaling：加快梯度下降执行速度的方法
(6)多变量线性回归
Linear Regression
注意一句话：多变量线性回归之前必须要Feature Scaling！
方法：线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，先给定一个训练集，根据这个训练集学习出一个线性函数，然后测试这个函数训练的好不好（即此函数是否足够拟合训练集数据），挑选出最好的函数（cost function最小）即可；
注意：
(1)因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数；
(2)因为是单变量，因此只有一个x；
我们能够给出单变量线性回归的模型：
我们常称x为feature，h(x)为hypothesis；
从上面“方法”中，我们肯定有一个疑问，怎么样能够看出线性函数拟合的好不好呢？
我们需要使用到Cost Function（代价函数），代价函数越小，说明线性回归地越好（和训练集拟合地越好），当然最小就是0，即完全拟合；
|
举个实际的例子： 我们想要根据房子的大小，预测房子的价格，给定如下数据集： 根据以上的数据集画在图上，如下图所示： 我们需要根据这些点拟合出一条直线，使得cost Function最小； |
虽然我们现在还不知道Cost Function内部到底是什么样的，但是我们的目标是：给定输入向量x，输出向量y，theta向量，输出Cost值；
以上我们对单变量线性回归的大致过程进行了描述；
Cost Function
Cost Function的用途：对假设的函数进行评价，cost function越小的函数，说明拟合训练数据拟合的越好；
下图详细说明了当cost function为黑盒的时候，cost function 的作用；
但是我们肯定想知道cost Function的内部构造是什么？因此我们下面给出公式：
其中：
表示向量x中的第i个元素；
表示向量y中的第i个元素；
表示已知的假设函数；
m为训练集的数量；
|
比如给定数据集(1,1)、(2,2)、(3,3) 则x = [1;2;3]，y = [1;2;3] （此处的语法为Octave语言的语法，表示3*1的矩阵） 如果我们预测theta0 = 0，theta1 = 1，则h(x) = x，则cost function： J(0,1) = 1/(2*3) * [(h(1)-1)^2+(h(2)-2)^2+(h(3)-3)^2] = 0； 如果我们预测theta0 = 0，theta1 = 0.5，则h(x) = 0.5x，则cost function： J(0,0.5) = 1/(2*3) * [(h(1)-1)^2+(h(2)-2)^2+(h(3)-3)^2] = 0.58； |
如果theta0 一直为 0， 则theta1与J的函数为：
如果有theta0与theta1都不固定，则theta0、theta1、J 的函数为：
当然我们也能够用二维的图来表示，即等高线图；
注意：如果是线性回归，则costfunctionJ与的函数一定是碗状的，即只有一个最小点；
以上我们讲解了cost function 的定义、公式；
Gradient Descent（梯度下降）
但是又一个问题引出了，虽然给定一个函数，我们能够根据cost function知道这个函数拟合的好不好，但是毕竟函数有这么多，总不可能一个一个试吧？
因此我们引出了梯度下降：能够找出cost function函数的最小值；
梯度下降原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快；
当然解决问题的方法有很多，梯度下降只是其中一个，还有一种方法叫Normal Equation；
方法：
(1)先确定向下一步的步伐大小，我们称为Learning rate；
(2)任意给定一个初始值：；
(3)确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新；
(4)当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降；
算法：
特点：
(1)初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；
(2)越接近最小值时，下降速度越慢；
问题：如果初始值就在local minimum的位置，则会如何变化？
答：因为已经在local minimum位置，所以derivative 肯定是0，因此不会变化；
如果取到一个正确的值，则cost function应该越来越小；
问题：怎么取值？
答：随时观察值，如果cost function变小了，则ok，反之，则再取一个更小的值；
下图就详细的说明了梯度下降的过程：
从上面的图可以看出：初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；
注意：下降的步伐大小非常重要，因为如果太小，则找到函数最小值的速度就很慢，如果太大，则可能会出现overshoot the minimum的现象；
下图就是overshoot minimum现象：
如果Learning rate取值后发现J function 增长了，则需要减小Learning rate的值；
Integrating with Gradient Descent & Linear Regression
梯度下降能够求出一个函数的最小值；
线性回归需要求出，使得cost function的最小；
因此我们能够对cost function运用梯度下降，即将梯度下降和线性回归进行整合，如下图所示：
梯度下降是通过不停的迭代，而我们比较关注迭代的次数，因为这关系到梯度下降的执行速度，为了减少迭代次数，因此引入了Feature Scaling；
Feature Scaling
此种方法应用于梯度下降，为了加快梯度下降的执行速度；
思想：将各个feature的值标准化，使得取值范围大致都在-1<=x<=1之间；
常用的方法是Mean Normalization，即
或者：
[X-mean(X)]/std(X);
|
举个实际的例子， 有两个Feature： (1)size，取值范围0~2000； (2)#bedroom，取值范围0~5； 则通过feature scaling后， |
练习题
我们想要通过期中开始成绩预测期末考试成绩，我们希望得到的方程为：
给定以下训练集：
| midterm exam | (midterm exam)2 | final exam |
| 89 | 7921 | 96 |
| 72 | 5184 | 74 |
| 94 | 8836 | 87 |
| 69 | 4761 | 78 |
我们想对(midterm exam)^2进行feature scaling，则经过feature scaling后的值为多少？
max = 8836,min=4761,mean=6675.5，则x=(4761-6675.5)/(8836-4761) = -0.47；
多变量线性回归
前面我们只介绍了单变量的线性回归，即只有一个输入变量，现实世界不可能这么简单，因此此处我们要介绍多变量的线性回归；
举个例子：
房价其实由很多因素决定，比如size、number of bedrooms、number of floors、age of home等，这里我们假设房价由4个因素决定，如下图所示：
我们前面定义过单变量线性回归的模型：
这里我们可以定义出多变量线性回归的模型：
Cost function如下：
如果我们要用梯度下降解决多变量的线性回归，则我们还是可以用传统的梯度下降算法进行计算：
总练习题：
1.我们想要根据一个学生第一年的成绩预测第二年的成绩，x为第一年得到A的数量，y为第二年得到A的数量，给定以下数据集：
| x | y |
| 3 | 4 |
| 2 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | 1 |
(1)训练集的个数是多少？ 4个；
(2)J(0,1)的结果是多少？
J(0,1) = 1/(2*4)*[(3-4)^2+(2-1)^2+(4-3)^2+(0-1)^2] = 1/8*(1+1+1+1) = 1/2 = 0.5；
我们也可以通过vectorization的方法快速算出J(0,1)：