洛谷2766：[网络流24题]最长不下降子序列问题——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2766

给定正整数序列x1,...,xn 。

（1）计算其最长不下降子序列的长度s。

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

第一问用dp求解不多说了。

考虑第二问，每个数只用一次很好办，把数拆点（入点和出点）中间连边权为1的边即可。

现在的问题就是如何让它能够跑满s个点。

我们设dp[i]表示以x[i]元素结尾的最长不下降子序列的长度，则。

显然dp[i]==s的时候我们扫到了一个合法解，我们i出点与汇点连边权为1的边。

那么在他前面的dp[j]==s-1且x[j]<=x[i]的说明合法解可以包含x[j]。所以j出点和i入点连边权为1的边。

那么dp[i]==1的i的入点就可以和S连边权为1的边。

跑网络流即可得到（2）答案。

至于（3），将和1和n有关的边都改成INF即可。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=2001;
const int M=800001;
const int INF=1e9;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch==‘-‘;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int nxt,to,w;
}edge[M];
int head[N],cnt=-1,S,T;
inline void add(int u,int v,int w){
    edge[++cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
    edge[++cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt;
}
int lev[N],cur[N],dui[N];
bool bfs(int m){
    int r=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        lev[i]=-1;
        cur[i]=head[i];
    }
    dui[0]=S,lev[S]=0;
    int u,v;
    for(int l=0;l<=r;l++){
        u=dui[l];
        for(int e=head[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
            v=edge[e].to;
            if(edge[e].w>0&&lev[v]==-1){
                lev[v]=lev[u]+1;
                r++;
                dui[r]=v;
                if(v==T)return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int u,int flow,int m){
    if(u==m)return flow;
    int res=0,delta;
    for(int &e=cur[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
        int v=edge[e].to;
        if(edge[e].w>0&&lev[u]<lev[v]){
            delta=dinic(v,min(edge[e].w,flow-res),m);
            if(delta>0){
                edge[e].w-=delta;
                edge[e^1].w+=delta;
                res+=delta;
                if(res==flow)break;
            }
        }
    }
    if(res!=flow)lev[u]=-1;
    return res;
}
int dp[N],a[N];
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    a[i]=read();dp[i]=1;
    }
    int s=0;S=2*n+1,T=S+1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
        if(a[i]<=a[j])dp[j]=max(dp[j],dp[i]+1);
    s=max(s,dp[i]);
    }
    printf("%d\n",s);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    add(i,i+n,1);
    if(dp[i]==1)add(S,i,1);
    if(dp[i]==s)add(i+n,T,1);
    for(int j=i+1;j<=n;j++){
        if(a[i]<=a[j]&&dp[j]==dp[i]+1)add(i+n,j,1);
    }
    }
    int ans=0;
    while(bfs(T))ans+=dinic(S,INF,T);
    printf("%d\n",ans);
    add(1,1+n,INF);add(n,n+n,INF);
    if(dp[1]==1)add(S,1,INF);
    if(dp[n]==s)add(n+n,T,INF);
    while(bfs(T))ans+=dinic(S,INF,T);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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