一、最短路径
①在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。
AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3
②在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70
③单源点最短路径问题
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
应用实例——计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。
④每一对顶点之间的最短路径
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。 解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。
二、Dijkstra算法
①基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
②设计数据结构 :
1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 。
2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
3、数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
4、数组s[n]：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。
③Dijkstra算法——伪代码
1 1. 初始化数组dist、path和s； 2 2. while (s中的元素个数<n) 3 2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k； 4 2.2 输出dist[j]和path[j]； 5 2.3 修改数组dist和path； 6 2.4 将顶点vk添加到数组s中；
④C++代码实现
1 #include<iostream>
2 #include<fstream>
3 #include<string>
4 using namespace std;
5 #define MaxSize 10
6 #define MAXCOST 10000
7 // 图的结构
8 template<class T>
9 struct Graph
10 {
11 T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组
12 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组
13 int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数
14 };
15 // 最短路径Dijkstra算法
16 void Dijkstra(Graph<string> G,int v)
17 {
18 int dist[MaxSize];// i到j的路径长度
19 string path[MaxSize];// 路径的串
20 int s[MaxSize];// 已找到最短路径的点的集合
21 bool Final[MaxSize];//Final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径
22 // 初始化dist\path
23 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
24 {
25 Final[i] = false;
26 dist[i] = G.arc[v][i];
27 if (dist[i] != MAXCOST)
28 path[i] = G.vertex[v] + G.vertex[i];
29 else
30 path[i] = " ";
31 }
32 s[0] = v; // 初始化s
33 Final[v] = true;
34 int num = 1;
35 while (num < G.vertexNum)
36 {
37 // 在dist中查找最小值元素
38 int k = 0,min= MAXCOST;
39 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
40 {
41 if (i == v)continue;
42 if (!Final[i] && dist[i] < min)
43 {
44 k = i;
45 min = dist[i];
46 }
47 }
48 cout << dist[k]<<path[k]<<endl;
49 s[num++] = k;// 将新生成的结点加入集合s
50 Final[k] = true;
51 // 修改dist和path数组
52 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
53 {
54 if (!Final[i]&&dist[i] > dist[k] + G.arc[k][i])
55 {
56 dist[i] = dist[k] + G.arc[k][i];
57 path[i] = path[k] + G.vertex[i];
58 }
59 }
60 }
61 }
62 int main()
63 {
64 // 新建图
65 Graph<string> G;
66 string temp[]= { "v0","v1","v2","v3","v4" };
67 /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]);
68 G.vertexNum = length;
69 G.arcNum = 7;*/
70 ifstream in("input.txt");
71 in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
72 // 初始化图的顶点信息
73 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
74 {
75 G.vertex[i] = temp[i];
76 }
77 //初始化图G的边权值
78 for (int i =0; i <G.vertexNum; i++)
79 {
80 for (int j = 0; j <G.vertexNum; j++)
81 {
82 G.arc[i][j] = MAXCOST;
83 }
84 }
85 for (int i = 0; i < G.arcNum; i++)
86 {
87 int m, n,cost;
88 in >> m >> n >> cost;
89 G.arc[m][n] = cost;
90 }
91 Dijkstra(G, 0);
92 system("pause");
93 return 0;
94 }
// input.txt1 5 7 2 0 1 10 3 0 3 30 4 0 4 100 5 1 2 50 6 2 4 10 7 3 2 20 8 3 4 60
三、Floyd算法
①基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。
②设计数据结构
1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 。
2、数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式：
3、数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。
③C++代码实现
1 #include<iostream>
2 #include<fstream>
3 #include<string>
4 using namespace std;
5 #define MaxSize 10
6 #define MAXCOST 10000
7 int dist[MaxSize][MaxSize];// 存放在迭代过程中求得的最短路径
8 string path[MaxSize][MaxSize];// vi到vj的最短路径
9 // 图的结构
10 template<class T>
11 struct Graph
12 {
13 T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组
14 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组
15 int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数
16 };
17 void Floyd(Graph<string> G)
18 {
19 // 初始化
20 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)
21 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
22 {
23 if (i == j) { dist[i][j] = 0; path[i][j] = ""; }
24 dist[i][j] = G.arc[i][j];
25 if (dist[i][j] != MAXCOST)
26 path[i][j] = G.vertex[i] + G.vertex[j];
27 else
28 path[i][j] = " ";
29 }
30 // 进行n次迭代
31 for(int k=0;k<G.vertexNum;k++)
32 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)
33 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
34 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
35 {
36 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
37 path[i][j] = path[i][k] + path[k][j];
38 }
39 }
40 int main()
41 {
42 int i, j, cost;
43 Graph<string> G;// 存放图的信息
44 ifstream in("input.txt");
45 in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
46 string temp[] = { "a","b","c" };
47 // 初始化图的顶点信息
48 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
49 {
50 G.vertex[i] = temp[i];
51 }
52 //初始化图G
53 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++)
54 {
55 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++)
56 {
57 G.arc[i][j] = MAXCOST;
58 }
59 }
60 //构建图G
61 for (int k = 0; k <G.arcNum; k++)
62 {
63 in >> i >> j >> cost;
64 G.arc[i][j] = cost;
65 }
66 Floyd(G);
67 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++)
68 {
69 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++)
70 {
71 if (i != j)
72 {
73 cout << "顶点" << i << "到顶点" << j << "的最短路径长度为" << dist[i][j] << endl;
74 cout << "具体路径为:" << path[i][j] << endl;
75 }
76 }
77 }
78 system("pause");
79 return 0;
80 }
// input.txt 3 5 0 1 4 1 0 6 0 2 11 2 0 3 1 2 2
参考文献：
[1]王红梅, 胡明, 王涛. 数据结构(C++版)[M]. 北京：清华大学出版社。
原文地址：https://www.cnblogs.com/smile233/p/8303673.html