【CF961G】Partitions 第二类斯特林数

【CF961G】Partitions

题意:给出n个物品,每个物品有一个权值$w_i$,定义一个集合$S$的权值为$W(S)=|S|\sum\limits_{x\in S} w_x$,定义一个划分的权值为$V(R)=\sum\limits_{S\in R} W(S)$。求将n个物品划分成k个集合的所有方案的权值和。

$n,k\le 2\cdot 10^5,w_i\le 10^9$

题解:第二类斯特林数针是太好用辣!

显然每个物品都是独立的,所以我们只需要处理出每个物品被统计的次数即可,说白了就是求这个式子:

$\sum\limits_{i=1}^niC_{n-1}^{i-1}S_{n-i}^{k-1}$

暴力拆分斯特林数

$\sum\limits_{i=1}^niC_{n-1}^{i-1}S_{n-i}^{k-1}\\=\sum\limits_{i=1}^niC_{n-1}^{i-1}\sum\limits_{j=0}^{k-1}{(-1)^j\over j!}{(k-j-1)^{n-i}\over (k-j-1)!}\\=\sum\limits_{j=0}^{k-1}{(-1)^j\over j!(k-j-1)!}\sum\limits_{i=1}^niC_{n-1}^{i-1}(k-j-1)^{n-i}$

考虑后面那个东西

$\sum\limits_{i=1}^niC_{n-1}^{i-1}(k-j-1)^{n-i}\\=\sum\limits_{i=1}^nC_{n-1}^{i-1}(k-j-1)^{n-i}+\sum\limits_{i=1}^n(i-1)C_{n-1}^{i-1}(k-j-1)^{n-i}\\=\sum\limits_{i=1}^nC_{n-1}^{i-1}(k-j-1)^{n-i}+(n-1)\sum\limits_{i=1}^nC_{n-2}^{i-2}(k-j-1)^{n-i}\\=(k-j)^{n-1}+(n-1)(k-j)^{n-2}$

就完事啦!

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
typedef long long ll;
const int maxn=300010;
int n,k;
ll sum,ans;
ll jc[maxn],jcc[maxn],ine[maxn];
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
inline ll pm(ll x,ll y)
{
	if(y<0)	return 1;
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%P;
		x=x*x%P,y>>=1;
	}
	return z;
}
int main()
{
	n=rd(),k=rd();
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)	sum=(sum+rd())%P;
	ine[0]=ine[1]=jc[0]=jc[1]=jcc[0]=jcc[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)	ine[i]=P-(P/i)*ine[P%i]%P,jc[i]=jc[i-1]*i%P,jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%P;
	for(j=0;j<=k-1;j++)
	{
		ll tmp=((j&1)?-1:1)*jcc[j]*jcc[k-1-j]%P;
		ans=(ans+tmp*pm(k-j,n-2)%P*(k-j+n-1))%P;
	}
	ans=(ans+P)%P;
	printf("%lld",ans*sum%P);
	return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/CQzhangyu/p/8723963.html

时间: 2024-10-07 18:33:09

【CF961G】Partitions 第二类斯特林数的相关文章

【cf961G】G. Partitions(组合意义+第二类斯特林数)

传送门 题意: 给出\(n\)个元素,每个元素有价值\(w_i\).现在要对这\(n\)个元素进行划分,共划分为\(k\)组.每一组的价值为\(|S|\sum_{i=0}^{|S|}w_i\). 最后询问所有划分的总价值. 思路: 直接枚举划分不好计算,考虑单独计算每一个元素的贡献,那么就有式子: \[ \sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^{n-k+1}{n-1\choose j-1}\begin{Bmatrix} n - j \\ k - 1 \end{Bmatrix}j \]

Gym 101147G 第二类斯特林数

大致题意: n个孩子,k场比赛,每个孩子至少参加一场比赛,且每场比赛只能由一个孩子参加.问有多少种分配方式. 分析: k>n,就无法分配了. k<=n.把n分成k堆的方案数乘以n的阶乘.N分成k堆得方案数即第二类斯特林数 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8521134 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const ll

Light OJ 1236 Race 第二类斯特林数

第二类斯特林数 n 匹马 分成1 2 3... n组 每一组就是相同排名 没有先后 然后组与组之间是有顺序的 在乘以组数的阶乘 #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; int dp[1010][1010]; int a[1010]; int main() { a[0] = 1; dp[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= 1000; i++) { dp[i][0] = 0; d

swjtu oj Paint Box 第二类斯特林数

http://swjtuoj.cn/problem/2382/ 题目的难点在于,用k种颜色,去染n个盒子,并且一定要用完这k种颜色,并且相邻的格子不能有相同的颜色, 打了个表发现,这个数是s(n, k) * k! s(n, k)表示求第二类斯特林数. 那么关键是怎么快速求第二类斯特林数. 这里提供一种O(k)的算法. 第二类斯特林数: #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <

hdu 2512 一卡通大冒险(第二类斯特林数)

递推思路如下,i张卡片分成j堆,那么分为两种情况:第i张卡片自成一堆或没有自成一堆. 那么自成一堆的话就是dp[i-1][j-1]种情况 不自成一堆的话就是就能在j堆种任意挑一堆放入,所以有dp[i-1][j]*j种情况 综上,如下: dp[i][j]=dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1]. 关于第二类斯特林数,百度就好. 具体代码 #include <iostream> using namespace std; int dp[2005][2005]; int main() {

poj 3088 组合计数,第二类斯特林数

题意:给出n个数字[1,n],问你可以组成多少种不同的序列,其中每一个序列由几个部分组成,每个部分包含几个数字,每部分内数字无序,部分之间数字有序.每个数字最多使用一次,可以不用. 思路:枚举从n个数字中选出i个数字(组合数),再枚举将这i个数字分成j个部分(第二类斯特林数),然后乘上j的全排列. 1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5

LightOJ 1326 - Race(第二类斯特林数啊 )

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1326 百度百科:斯特林数 ACdreamer:第一类Stirling数和第二类Stirling Disky and Sooma, two of the biggest mega minds of Bangladesh went to a far country. They ate, coded and wandered around, even in their holidays.

Gym Gym 101147G 第二类斯特林数

题目链接:http://codeforces.com/gym/101147/problem/G 题意:n个人,去参加k个游戏,k个游戏必须非空,有多少种放法? 分析: 第二类斯特林数,划分好k个集合后乘以阶乘: 1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 5 const int maxn = 1010; 6 const long long MOD = 1000000000 + 7L; 7 long long stir[maxn][

poj 1430 第二类斯特林数

1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 int get2(long long n){ 7 if(n==0) 8 return 0; 9 int cnt =0; 10 while(n){ 11 cnt += n/2; 12 n = n/2; 13 } 14 return cnt; 15 } 16 int main(){ 17 18