6.1-1
在高度为 h 的堆中，元素最多有 2h+1 - 1 个，最少有 2h 个。注意算法导论里的高度是指深度，从 0 开始而不是从 1 开始。
6.1-2
这很好想，但是不好证明。
由已知高度为 h 的堆，它的元素个数满足 2h <= n <= 2h+1 - 1 ，解出 lg(n+1) - 1 <= h <= lgn ，但是它不够“合理”，因为当 n = 2h+1-1 时，n 等于 2的幂 - 1，此时 lg(n+1) -1 = ?lgn? ，所以 ?lgn? <= h <= lgn 。而我们默认高度 h 是一个自然数，所以左右界一致，得出 h = ?lgn? 。
6.1-3
最大堆的属性告诉我们除了根结点以外的所有结点都要满足 A[PARENT(I)] >= A[I] ，一棵树是递归定义的，所以子树的最大结点肯定是其根结点。
6.1-4
它一定是叶子结点，位于 ?lgn? 或 ?lgn? - 1 层
6.1-5
按递增排序的话，是的
6.1-6
不是，"PARENT" 6 < "CHILD" 7
6.1-7
通过反证法比较好证明。
假设 i ∈ { ?n/2?+1, ?n/2?+2, ... , n } ，那么它的孩子的序号至少是 2·(?n/2?+1), 2·(?n/2?+2) ，显然不在数组内。
所以可以得到结论：堆中叶子结点数 = ?n+1?
6.2-1
3 先与左右儿子比较，找到其中最大的关键字并记录它的索引，让它与 3 交换，递归调用实现 3 的子树堆化。
6.2-2
维护最小堆的算法如下：
#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)
MIN-HEAPIFY (A, i)
left = LEFT (i)
right = RIGHT (i)
if left <= A.HEAPSIZE && A[left] < A[i]
min_index = left
else
min_index = i
if right <= A.HEAPSIZE && A[right] < A[min_index]
min_index = right
if min_index != i
exchange A[i] and A[min_index]
MIN-HEAPIFY(A, min_index)
时间一样，都是 Θ(lgn)
6.2-3
不会进行递归堆化。
6.2-4
其子结点的序号超出了堆的大小，程序将视为其子结点不存在，所以不会进行堆化操作。
6.2-5
尾递归改循环控制结构如下：
#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)
MAX-HEAPIFY (A, i)
while i < A.HEAPSIZE
left = LEFT(i)
right = RIGHT(i)
if left < A.HEAPSIZE && A[left] > A[i]
max_index = left
else
max_index = i
if right < A.HEAPSIZE && A[right] > A[max_index]
max_index = right
if max_index != i
exchange A[max_index] and A[i]
else
return;
6.2-6
...
6.3-1
从 ?A.length/2? 开始，即第一个非叶子结点 10 开始(最大)堆化，然后是 3、2、1 。过程很简单，直接写结果了，得到的数组是 {84, 22, 19, 10, 3, 17, 6, 5, 9}
6.3-2
我们从 ?n/2? 开始的目的是要让每次迭代前后 i 都是最大堆的根。如果从 1 开始，那么将无法保持最大堆的特性（无法保证循环不变式）。
6.3-3
这里将利用到 6.1-7 的结论：堆中叶子结点数 = ?n/2?
首先，当 h = 0 时（算法导论中高度深度都是从 0 开始），高度为零的堆就是叶子结点组成的堆，有 ?n/2? 个这样的堆，结点数是 ?n/2?
假设当 h = h-1 时，结论成立。
有一颗高度为 h 的堆，如果把它的叶子结点都剪去后它将变成高度为 h - 1 、结点数为 n - ?n/2? = ?n/2? 的堆，代入 h = h-1 时的结论，有如下推导：
同理，我们可以用高度为 h+1 的堆剪去叶子结点得到高度为 h 的堆，其高度与最大结点数的关系还是上式。
原文地址：https://www.cnblogs.com/Bw98blogs/p/8362026.html
时间： 2024-10-20 09:26:45