Pell佩尔方程 x^2-61*y^2=1

有一个特殊的佩尔方程：x^2-61*y^2=1

下面我将编程求解它的最小解

如果直接枚举x和y的话，大约需要10秒

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	long long x = 2, y = 0, flag = 3;		//flag=x*x-61*y*y-1
	while (flag)
	{
		if (flag > 0)
		{
			flag -= 61 * (2 * y + 1);
			y++;
		}
		else
		{
			flag += 2 * x + 1;
			x++;
		}
	}
	cout << x << "  " << y << "  " << x*x;
	system("pause>nul");
	return 0;
}

如果先数学求解的话，自然会快一些。

首先，x必定是奇数，y必定是偶数

设x=s*2+1,y=t*2

那么s(s+1)=61t*2

分解：有2种情况

第一种，s=61*a^2,s+1=b^2,那么b^2-61*a^2=1，与x,y是最小解矛盾。

第二种，s=a^2,s+1=61*b^2,那么a^2-61*b^2=-1，化成这种佩尔方程了。

如果这个方程有解的话，原方程也有解，而且这个方程的解比原方程的解小得多。

2个方程是几乎差不多的，代码只需要略略改改就可以了。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	long long x = 2, y = 0, flag = 5;
	while (flag)
	{
		if (flag > 0)
		{
			flag -= 61 * (2 * y + 1);
			y++;
		}
		else
		{
			flag += 2 * x + 1;
			x++;
		}
	}
	cout << x*x * 2 + 1;
	system("pause>nul");
	return 0;
}

这个不需要1秒就可以算完。

最后，附上PDF的截图