zoj 3329 概率dp 环

一个游戏，你手上有三个骰子，分别有k1, k2, k3面。每次投出这三个骰子，得到三个面x, y, z。并且你有一个计数器，如果投出a, b, c, 则计数器归零，否则计数器加上三面之和，计数器初始为零。如果计数器的值大于 n 则游戏胜利。求胜利所需投骰子次数的期望。

以计数器的值为状态，dp[i] 表述计数器的值为i的情况下投骰子的期望。得到转移方程

p[k] 表示投出点数总和为k的概率，k=0时表示投出计数器归零的概率。

dp[i] = p[0]*dp[0] + Σ(dp[i+k]*p[k]) + 1;

然后dp方程有环，=_=

用待定系数法推，先设：

dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i];

带入原方程得

dp[i] = p[0]dp[0] + Σ(p[k](a[i+k]*dp[0]+b[i+k])) + 1;

dp[i] = (p[0]+Σ(p[k]*a[i+k]))*dp[0] + Σ(p[k]*b[i+k]) + 1;

得出:

a[i] = p[0]+Σ(p[k]*a[i+k]);

b[i] = Σ(p[k]*b[i+k]) + 1;

而：

dp[0] = a[0] * dp[0] + b[0];

于是我门根据a[i] 和 b[i] 可以算出:

dp[0] = b[0] / (1 - a[0]);

/***********************************************
 ** problem ID  : zoj_3329.cpp
 ** create time : Sat Jul 25 15:02:55 2015
 ** auther name : xuelanghu
 ** auther blog : blog.csdn.net/xuelanghu407
 **********************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
int k1, k2, k3, _k;
int a, b, c;

double ans;

double p[20];

void init () {
    memset(p, 0, sizeof(p));

    p[0] = 1.0 / (k1 * k2 * k3);

    for (int i=1; i<=k1; i++) {
        for (int j=1; j<=k2; j++) {
            for (int k=1; k<=k3; k++) {
                if (i == a && j == b && k == c) continue;
                p[i + j + k] += 1.0 / (k1 * k2 * k3);
            }
        }
    }
}

void solve() {
    double A[520];
    double B[520];
    memset(A, 0, sizeof(A));
    memset(B, 0, sizeof(B));
    for (int i=n; i>=0; i--) {
        A[i] = p[0];
        B[i] = 1.0;
        for (int j=3; j<=_k; j++) {
            A[i] += p[j] * A[i+j] * 1.0;
            B[i] += p[j] * B[i+j] * 1.0;
        }
    }
    ans = B[0] * 1.0 / (1.0 - A[0]);
}

int main () {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        cin >> k1 >> k2 >> k3;
        cin >> a >> b >> c;
        _k = k1 + k2 + k3;
        init ();
        solve();
        printf ("%.15lf\n", ans);
    }
    return 0;
}

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