Algorithm(1) - Karatsuba multiplication

这个系列主要是记一下目前效率较高或者比较出名的一些算法.

Karatsuba multiplication:

x=5678   then: a=56  b=67

y=1234           c=12 d=34

setps:

1:   a*c = 672    ①

2:   b*d=2652   ②

3:  (a+b)(c+d)=6164  ③

4:  ③-②-①=2840

5:  6720000 + 2652+284000 = 7006652

Recursive algorithm:

whrite: x= 10^n/2 a+b   y= 10 ^n/2 c+d

then x*y = 10ⁿac+10^n/2(ad+bc)+bd   这里，我们需要做4次乘法，在计算机中的cost并不理想，所以用到一个

Gauss‘s trick:

step1: recursively compute ac

step2： recurisively compute bd

step3: recurisively compute (a+c)*(c+d)  then

ad+bc = (a+c)*(c+d) - ac - bd

upshot:only 3 recursive multiply calls.

note： 这里的n表示位数， 比如x是6位数，n=6， n/2=3，如果x=7，则n/2取4.

保留一个问题，这个是我比较困惑的， 如果x和y位数相差比较大这个算法还能不能用， 比如x是7位数，y是三位数，希望大神解答!

在计算机里，少做一次乘法的效率会提高不少，对于给定的n位大数，算法的复杂度不超过3n^log3 ≈ 3n^1.585, 一般给定N位数，复杂度是n平方。

Algorithm(1) - Karatsuba multiplication