{POJ}{3971}{Scales}{O(N)动态规划}

题意：给定一堆2二进制砝码，给定一个物品，要求在天平两端加入物品和砝码使之平衡，求可能数。

思路：一开始想到了直接用数学原理，结果没证出来。做如下思考,此题需要用二进制:

（1）设物品重量为w，加入的砝码重量为x，另一边重量为y，便有w+x=y。

（2）另外，假如物品为100110，加入的砝码可以为000010，那么总和为101000，显然x与y不能有位数相同的1（因为每种砝码只有一个），因此便有x&y=0

依据这两点，可以知道此题的关键之处就在于如何分析w+x的进位情况。分析物品的第i位，比如为1，那么如果前面的一位没有进位，那么他便可以加上1或者不加；如果进位，那就肯定不能加1（因为加1以后与进位的1加上这一位的结果还是1，与x&y=0矛盾），所以对于每一位，它的进位与不进位情况需要分开判断。

DP思路：设f[i][0]表示判断到i位时它不进位的情况数，f[i][1]表示到i位时它进位的情况数，都是从低位到高位判断。

（1）先考虑f[i][0]（不进位的情况）

• i位为1，如果前面不进位，那么这一位只能加上0才满足不进位的情况；如果前面进位，那么无论如何不可能使这一位不进位，因此f[i][0]=f[i-1][0]；
• i位为0，如果前面不进位，那么这一位只能选择0（因为选择加1的话将会与x&y=0矛盾）；如果前面进位，那么这一位也只能选择0才能使i位也不进位，因此有f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]；

（2）再考虑f[i][1]（进位的情况）

• i位为1，如果前面不进位，那么这一位只能选择1才能使i位进位；如果前面进位，那么只能选择0使之进位（如果选择1那么结果将会与x&y=0矛盾），因此f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1]；
• i位为0，如果前面不进位，那么这一位无论如何不可能进位；如果前面进位，那么只能选择1才能使i位进位，因此f[i][1]=f[i-1][1];

这样，DP方程就得到了

if(s[i] == 1){
    f[i][0] = f[i-1][0];
    f[i][1] = f[i-1][0]+f[i-1][1];
}
else{
    f[i][0] = f[i-1][0]+f[i-1][1];
    f[i][1] = f[i-1][1];
}

注意：不得不说，这个题目挺不错的，此题中间结果可能会超出long long，因此需要分次数判断，因为这个点我WA了N次

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <memory>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;

#define CLR(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MIN(m,v) (m)<(v)?(m):(v)
#define MAX(m,v) (m)>(v)?(m):(v)
#define ABS(x) ((x)>0?(x):-(x))
#define rep(i,x,y) for(i=x;i<y;++i)

const int MAXN = 1100000;

int t,n,m,d;
int s[MAXN];
int dp[MAXN][2];

void Solve()
{
	char c;

	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
		getchar();
		CLR(s,0);
		for(int i = m-1; i >= 0; --i){
			scanf("%c",&c);
			s[i] = c-‘0‘;
		}
		if(s[0] == 0) {
			dp[0][0] = 1;
			dp[0][1] = 0;
		}
		else{
			dp[0][0] = 1;
			dp[0][1] = 1;
		}
		for(int i = 1; i < n; ++i){
			if(s[i] == 1){
				dp[i][0] = dp[i-1][0];
				dp[i][1] = dp[i-1][0]+dp[i-1][1];
			}
			else{
				dp[i][0] = dp[i-1][0]+dp[i-1][1];
				dp[i][1] = dp[i-1][1];
			}
			if(dp[i][0]>=d) dp[i][0]-=d;
			if(dp[i][1]>=d) dp[i][1]-=d;
		}
		cout<<(dp[n-1][0])<<endl;
	}
}

int main()
{
	Solve();
	return 0;
}

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