机器学习(10)之趣味案例理解朴素贝叶斯
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01
病人分类的例子
让我从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。某个医院早上收了六个门诊病人，如下表。
| 症状 | 职业 | 疾病 |
| 打喷嚏 | 护士 | 感冒 |
| 打喷嚏 | 农夫 | 过敏 |
| 头疼 | 建筑工人 | 脑震荡 |
| 头疼 | 建筑工人 | 感冒 |
| 打喷嚏 | 教师 | 感冒 |
| 头疼 | 教师 | 脑震荡 |
现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？ 根据贝叶斯定理：
P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)可得：P(感冒|打喷嚏x建筑工人) = P(打喷嚏x建筑工人|感冒) x P(感冒) / P(打喷嚏x建筑工人)
假定"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了
P(感冒|打喷嚏x建筑工人) = P(打喷嚏|感冒) x P(建筑工人|感冒) x P(感冒) / P(打喷嚏) x P(建筑工人)
这是可以计算的。
P(感冒|打喷嚏x建筑工人) = 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33 = 0.66
因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。
这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。
02
朴素贝叶斯分类器的公式
假设某个体有n项特征（Feature），分别为F1、F2、...、Fn。现有m个类别（Category），分别为C1、C2、...、Cm。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类，也就是求下面这个算式的最大值：
P(C|F1F2...Fn) = P(F1F2...Fn|C)P(C) / P(F1F2...Fn)
由于 P(F1F2...Fn) 对于所有的类别都是相同的，可以省略，问题就变成了求
P(F1F2...Fn|C)P(C)
的最大值。
朴素贝叶斯分类器则是更进一步，假设所有特征都彼此独立，因此
P(F1F2...Fn|C)P(C) = P(F1|C)P(F2|C) ... P(Fn|C)P(C)
上式等号右边的每一项，都可以从统计资料中得到，由此就可以计算出每个类别对应的概率，从而找出最大概率的那个类。
虽然"所有特征彼此独立"这个假设，在现实中不太可能成立，但是它可以大大简化计算，而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。
下面再通过两个例子，来看如何使用朴素贝叶斯分类器。
03
账号分类
根据某社区网站的抽样统计，该站10000个账号中有89%为真实账号（设为C0），11%为虚假账号（设为C1）。接下来，就要用统计资料判断一个账号的真实性。
C0 = 0.89 C1 = 0.11
假定某一个账号有以下三个特征
F1: 日志数量/注册天数 F2: 好友数量/注册天数 F3: 是否使用真实头像（真实头像为1，非真实头像为0）F1 = 0.1 F2 = 0.2 F3 = 0
请问该账号是真实账号还是虚假账号？方法是使用朴素贝叶斯分类器，计算下面这个计算式的值。
P(F1|C)P(F2|C)P(F3|C)P(C)
虽然上面这些值可以从统计资料得到，但是这里有一个问题：F1和F2是连续变量，不适宜按照某个特定值计算概率。一个技巧是将连续值变为离散值，计算区间的概率。比如将F1分解成[0, 0.05]、(0.05, 0.2)、[0.2, +∞]三个区间，然后计算每个区间的概率。在我们这个例子中，F1等于0.1，落在第二个区间，所以计算的时候，就使用第二个区间的发生概率。
根据统计资料，可得：
P(F1|C0) = 0.5, P(F1|C1) = 0.1 P(F2|C0) = 0.7, P(F2|C1) = 0.2 P(F3|C0) = 0.2, P(F3|C1) = 0.9
因此
P(F1|C0) P(F2|C0) P(F3|C0) P(C0) = 0.5 x 0.7 x 0.2 x 0.89 = 0.0623P(F1|C1) P(F2|C1) P(F3|C1) P(C1) = 0.1 x 0.2 x 0.9 x 0.11 = 0.00198
可以看到，虽然这个用户没有使用真实头像，但是他是真实账号的概率，比虚假账号高出30多倍，因此判断这个账号为真。
04
性别分类
下面是一组人类身体特征的统计资料。
| 性别 | 身高(英尺) | 体重(磅) | 脚掌(英寸) |
| 男 | 6 | 180 | 12 |
| 男 | 5.92 | 190 | 11 |
| 男 | 5.58 | 170 | 12 |
| 男 | 5.92 | 165 | 10 |
| 女 | 5 | 100 | 6 |
| 女 | 5.5 | 150 | 8 |
| 女 | 5.42 | 130 | 7 |
| mv | 5.75 | 150.9 | 9 |
已知某人身高6英尺、体重130磅，脚掌8英寸，请问该人是男是女？根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。
P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)
这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以，男性的身
高为6英尺的概率的相对值等于1.5789（大于1并没有关系，因为这里是密度函数的值，只用来反映各个值的相对可能性）。
有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。
P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男) = 6.1984 x e-9P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女) = 5.3778 x e-4
可以看到，女性的概率比男性要高出将近10000倍，所以判断该人为女性。