题目
描述
? 本题的背景是整除分块;
? 定义一个数列$a_{n,i} ? = ?\lfloor \frac{n}{i} \rfloor $ ;
? 求$\sum_{i=l}^{r} mex(a_n) $ ;
? 其中\(mex\)表示序列中最小的没有出现过的自然数;
? 答案对\(998244353\)取模 ;
范围
? \(1 \le T \le 65536 \ , \ 1 \le l ,r \le 10^{36}\) ;
? 评测系统支持使用 $ _ _ int218 $ ,但是不能直接读入输出,需要你手写 $ IO $ ;
题解
-
Part 1
- 如果你写过整除分块,根据整除分块的写法基础,\(i\)在\(a_n\)中不出现的充要条件是:
\[
\begin{align}
\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor \neq i \\
\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor \ge i+1 \ \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \ge i +1 \ \frac{n}{i+1} \ge \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \\\ 令: \lfloor \frac{n}{i} \rfloor = a \结合上面的推导,根据定义有:\\\ a(i+1) \le n \lt i(a+1) \且在 0 \le a \lt i 时有意义;
\end{align}
\] - 意思是我们得到了关于不出现\(i\)的关于\(n\)的区间,记这样子的区间为\(S(i,a)\);
-
Part 2
- 观察式子的左右两边,可以得到\(S(i+1,a-1)\)和\(S(i,a)\)可以拼接,推广得在同一副对角线上的区间连续:
- 即这样的形式:
- 记以\(S(i,0)\)开头的对角线标号为\(i\),按照标号,从小到大考虑每一条跳条对角线;
- 注意到\(|S(i,a)| = i(a+1) - a(i+1) = i - a\);
- 所以有:第\(i\)条线不会影响第\(1 \to i-1\)条线已经覆盖的区间的答案;
- 发现多出来的区间长度依次是:$1 ?1 ?2 ?2 ?3 ?3 ? ? \cdots ? ? i ? i \cdots $ ;
- 容易发现每一次的段都是从后往前看都是一个连续增大的数列(相邻差最大为1);
- 对于第\(2i\)个多出来的区间,从后往前第一小段的长度为2,值为\(i\),以后值+1,长度+2,直到总长度为\(i\);
- 对于第\(2i-1\)个多出来的区间,从后往前第一小段的长度为1,值为\(i\),以后值+1,长度+2,直到总长度为\(i\);
-
Part 3
- 可以通过打表直接到\(Part \ 3\);
- 分奇数段和偶数段求和,最后再删去剩下的一小段:
- 对于奇数段:
\[
\begin{align}
&= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{i} i + \sqrt{j-1}
= \sum_{i=1}^{l} i^2 +\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{i} \sqrt{j-1} \\to
&\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{i} \sqrt{j-1}= \sum_{j=1}^{l}\sqrt{j-1}(l-j+1)\&=\sum_{j=1}^{l}(l-j+1) \sum_{k=1}[k^2<j]= \sum_{k=1}^{k^2<l}\sum_{j=1}^{l-k^2}j\&直接运用等差数列求和再预处理次方和即可求得答案;
\end{align}
\] - 对于偶数段,可以不用求出\(k^2+k\)的逆,可以在奇数段的推导上直接得出:
\[
\begin{align}
&\sum_{k=1}^{k^2+k<l}\sum_{j=1}^{l-k^2-k}j
\end{align}
\]//__int128真不是好东西,不仅不能直接读入开根还要炸精度!!! #include<bits/stdc++.h> #define mod 998244353 #define eps 1e-9 #define ll __int128 #define ld long double #define il inline using namespace std; ll n,iv2,iv4,iv6,iv30; il char gc(){ static char*p1,*p2,s[1000000]; if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin); return(p1==p2)?EOF:*p1++; } il ll rd(){ ll x=0;char c=gc(); while(c<'0'||c>'9')c=gc(); while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=gc(); return x; } char ps[1000000],*pp=ps; il void push(char x){ if(pp==ps+1000000)fwrite(ps,1,1000000,stdout),pp=ps; *pp++=x; } il void print(ll x){ static int sta[100],top; if(!x){push('0'),push('\n');return;} while(x)sta[++top]=x%10,x/=10; while(top)push(sta[top--]^'0'); push('\n'); } il void flush(){fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);} il ll pw(ll x,ll y){ ll re=1; while(y){ if(y&1)re=re*x%mod; y>>=1;x=x*x%mod; } return re; } il void inc(ll&x,ll y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;} il void dec(ll&x,ll y){x-=y;if(x<0)x+=mod;} il ll get1(ll n){ //return floor(sqrt((ld)1.0*n)+eps); ll re=floor(sqrt((ld)1.0*n)+eps); while(re*re>=n)re--; return re; } il ll get2(ll n){ //return floor((sqrt((ld)4.0*n-3)-1)/2+eps); ll re=floor((sqrt((ld)4.0*n-3)-1)/2+eps); while(re*re+re>=n)re--; return re; } il ll cal1(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*iv2%mod;} il ll cal2(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*iv6%mod;} il ll cal3(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*n%mod*(n+1)%mod*iv4%mod;} il ll cal4(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*(3ll*n*n%mod+3*n%mod+mod-1)%mod*iv30%mod;} il ll solve1(ll l){ ll n=get1(l),re=0; inc(re,(n%mod)*(l%mod)%mod*(l%mod+1)%mod); dec(re,(2*(l%mod)+1)*cal2(n)%mod); inc(re,cal4(n)); re=(re*iv2%mod+cal2(l)-1)%mod; return re; } il ll solve2(ll l){ ll n=get2(l),re=0; inc(re,(n%mod)*(l%mod)%mod*(l%mod+1)%mod); dec(re,(2*(l%mod)+1)*cal1(n)%mod); dec(re,2*l*cal2(n)%mod); inc(re,2*cal3(n)%mod); inc(re,cal4(n)%mod); re=((re*iv2%mod+cal2(l))%mod+cal1(l))%mod; return re; } il ll solve3(ll l,ll n){ ll m=get1(n),re=(n%mod)*(l%mod)%mod; inc(re,(m%mod)*(n%mod)%mod); dec(re,cal2(m)); return re; } il ll solve4(ll l,ll n){ ll m=get2(n),re=(n%mod)*((l%mod)+1)%mod; inc(re,(m%mod)*(n%mod)%mod); dec(re,cal2(m)); dec(re,cal1(m)); return re; } il ll solve(ll n){ ll l=get2(n+1)+1,m=l*(l+1)-1,re=0; inc(re,solve1(l)); inc(re,solve2(l)); if(m>n)dec(re,solve4(l,min(l,m-n))); if(m-l>n)dec(re,solve3(l,min(l,m-n-l))); return re; } int main(){ freopen("mex.in","r",stdin); freopen("mex.out","w",stdout); iv2=pw(2,mod-2);iv4=pw(4,mod-2); iv6=pw(6,mod-2);iv30=pw(30,mod-2); ll C=rd(),T=rd(); while(T--){ ll l=rd(),r=rd(); ll ans=(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod; print(ans); } flush(); return 0; }
原文地址:https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/10637349.html
时间: 2024-11-06 07:27:04