[BZOJ1016] [JSOI2008] 最小生成树计数 (Kruskal)

Description

　　现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的
最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生
成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。

Input

　　第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整
数编号。接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,0
00。数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。

Output

　　输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。

Sample Input

4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

Sample Output

8

HINT

Source

Solution

　　最小生成树的性质：

1. 对于每一个$MST$，每一种边权所使用的边数相同
2. $MST$中边权$\leq w$的边组成的图的连通性不变

　　所以首先我们可以用$Kruskal$算出每一种边权使用的边数

　　之后暴力枚举某种边权所使用的边

　　因为最多只有$10$条边，所以时间可以接受，当没有这个限制条件时需要用到$Matrix$-$Tree$定理。对，你知道的，我不会这个

　　顺便试着写了下冰炸鸡并查集按秩合并，稍微伪证了一下发现是$O(nlogn)$的，不过可以撤回？！好像又解锁了什么姿势

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 struct edge
 4 {
 5     int u, v, w, x;
 6     inline bool operator< (const edge &rhs) const
 7     {
 8         return x < rhs.x;
 9     }
10 }e[1005];
11 struct count
12 {
13     int l, r, use;
14 }g[1005];
15 int n, m, fa[105], siz[105];
16
17 int getfa(int x)
18 {
19     return fa[x] == x ? x : getfa(fa[x]);
20 }
21
22 void link(int u, int v)
23 {
24     if(siz[u] > siz[v]) fa[v] = u, siz[u] += siz[v];
25     else fa[u] = v, siz[v] += siz[u];
26 }
27
28 bool Kruskal()
29 {
30     int cnt = 0, u, v;
31     for(int i = 1; i <= m; ++i)
32     {
33         u = getfa(e[i].u), v = getfa(e[i].v);
34         if(u != v)
35         {
36             link(u, v);
37             ++g[e[i].w].use;
38             if(++cnt == n - 1) return true;
39         }
40     }
41     return false;
42 }
43
44 int DFS(int w, int i, int k)
45 {
46     if(k == g[w].use) return 1;
47     if(i > g[w].r) return 0;
48     int ans = 0, u = getfa(e[i].u), v = getfa(e[i].v);
49     if(u != v)
50     {
51         link(u, v);
52         ans = DFS(w, i + 1, k + 1);
53         fa[u] = u, fa[v] = v;
54     }
55     return ans + DFS(w, i + 1, k);
56 }
57
58 int main()
59 {
60     int u, v, w, ans;
61     cin >> n >> m;
62     for(int i = 1; i <= n; ++i)
63         fa[i] = i, siz[i] = 1;
64     for(int i = 1; i <= m; ++i)
65     {
66         cin >> u >> v >> w;
67         e[i] = (edge){u, v, 0, w};
68     }
69     sort(e + 1, e + m + 1);
70     w = 0;
71     for(int i = 1; i <= m; ++i)
72         if(e[i].x == e[i - 1].x) e[i].w = w;
73         else
74         {
75             g[w].r = i - 1;
76             e[i].w = ++w;
77             g[w].l = i;
78         }
79     g[w].r = m;
80     ans = Kruskal();
81     for(int i = 1; i <= n; ++i)
82         fa[i] = i, siz[i] = 1;
83     for(int i = 1; i <= w; ++i)
84     {
85         ans = ans * DFS(i, g[i].l, 0) % 31011;
86         for(int j = g[i].l; j <= g[i].r; ++j)
87         {
88             u = getfa(e[j].u), v = getfa(e[j].v);
89             if(u != v) link(u, v);
90         }
91     }
92     cout << ans << endl;
93     return 0;
94 }