最小生成树 Prim算法 Kruskal算法

最小生成树

给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树，那么这棵树就叫做生成树，如果边上有权值，那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树。

常见的求解最小生成树的算法有Kruskal算法和Prim算法，生成树是否存在和图是否连通是等价的，所以假定图是连通的。

Prim算法

假设有一棵只包含一个顶点v的数T，然后贪心地选取T和其他顶点之间相连的最小权值的边，并把它加到T中。不断进行这个操作，就可以得到最小生成树了(可用反证法证明)

不使用Heap优化的代码

int eg[max_v][max_v];
int mincost[max_v];
bool used[max_v];
int V;
int prim()
{
    for(int i = 0 ; i < V ; i ++) {
        used[i] = false;
        mincost = INF;
    }
    mincost[0] = 0;
    int res = 0;
    while(true) {
        int v = -1;
        for(int i = 0 ; i < v ; i ++) {//从不属于已选边中选一个权最小的
            if(!used[i]) {
                if(v == -1 || mincost[i] < mincost[v]) v = i;
            }
        }
        if(v == -1) break;
        used[v] = true;
        res += mincost[v];
        for(int i = 0 ; i < V ; i ++) {
            mincost[i] = min(mincost[i],eg[v][i]);
        }
    }
    return res;
}

prim算法也可以使用优先队列(堆)来维护，复杂度可以达到O(|E|log|V|)

Kruskal算法

按照边的权值顺序从小到大查看一遍，如果不产生圈(重边也算在内)，就把当前这条边加入到生成树中。

判断是否在一个连通分量中可以使用并查集。

整个Kruskal算法复杂度O(|E|log|V|)

struct edge {
    int from,to,cost;
};
bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.cost < b.cost;
}
edge eg[max_e];
int v,e;
int kruskal()
{
    sort(eg,eg+e,cmp);
    init_union_find(v);
    int res = 0;//最小生成树权值
    for(int i = 0 ; i < e ; i ++) {
        edge e = eg[i];
        if(!same(e.from,e.to)) {
            unite(e.from,e.to);
            res += e.cost;
        }
    }
}