【HNOI 2011】BZOJ 2326-数学作业

按照教练的要求来写一写历年HNOI的题目...挑几道好写的来做

题意我就不说了。

一开始就被BZOJ上的Tag剧透了个爽，直接省掉70%的思考过程...

　　　　很容易可以得出的O(n)递推式 ：f[n] = f[n-1] * 10 ^len(n) + n

然后我们考虑如何用矩阵乘法来简化这个式子。

因为len(n)是一个变量，而且表示比较复杂。因此只需要将n分成几段，比如1-9,10-99这些位数相同的区间。

观察一下式子，里面有f[n],f[n-1],n这些变量，10^a这个常量。

假设现在有这么一个矩阵，在已知f[n-1]，n的情况下能够得出f[n],n+1就好了是吧？

　　　　f[n-1]  ——>  f[n-1] * 10^a + n

　　　　n ——> n+1

————————————————————————————————————————

　　　　f[n-1]           |                      |                          f[n-1] * 10^a

　　　　n             *   |                      |              =          n+1

　　　　1                 |                       |                         1

易之，所求的矩阵应该是

10^a     1         0

0         1         1

0         0         1

那么把这个矩阵快速幂一下，然后改一下[1][1]的值继续快速幂，最后与

0

1

1

乘以下，[1][1]位的就是答案了。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6
 7 typedef long long ll;
 8 int i,j,n,m,k;
 9 ll N,p,a;
10
11 struct matrix
12 {
13     int n,m; ll d[4][4];
14     void clear() { n = m = 0; memset(d,0,sizeof(d)); }
15 } S,T;
16
17 matrix operator * (const matrix &a,const matrix &b)
18 {
19     matrix ans;
20     ans.clear();
21     for (int i = 1; i <= a.n; i++)
22         for (int j = 1; j <= b.m; j++)
23             for (int k = 1; k <= a.m; k++)
24                 ans.d[i][j] += a.d[i][k] * b.d[k][j],ans.d[i][j] %= p;
25     ans.n = a.n; ans.m = b.m;
26     return ans;
27 }
28
29 matrix Power(matrix a,ll b)
30 {
31     matrix ans; ans.clear(); ans.n = ans.m = 3;
32     ans.d[1][1] = ans.d[2][2] = ans.d[3][3] = 1;
33     while (b)
34     {
35         if (b & 1) ans = ans * a;
36         a = a * a;
37         b >>= 1;
38     }
39     return ans;
40 }
41
42 int main()
43 {
44     scanf("%lld %lld\n",&N,&p);
45
46     S.n = S.m = 3; T.n = 3; T.m = 1;
47     S.d[1][2] = S.d[2][2] = S.d[2][3] = S.d[3][3] = T.d[2][1] = T.d[3][1] = 1;
48
49     a = 1;
50     while (1)
51     {
52         a = a * 10;
53
54         S.d[1][1] = a % p;
55
56         ll k = min(a-a/10,N-a/10+1);
57         T = Power(S,k) * T;
58         if (a > N) break;
59     }
60
61     printf("%lld\n",T.d[1][1]);
62
63     return 0;
64 }

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