树状数组与差分

目录

  • 树状数组的引入
  • lowbit的含义
  • 树状数组的前缀和存储方式
  • 单点修改
  • 区间查询
  • 初始化
  • 模板例题——树状数组基本操作
  • 差分——区间修改
  • 备注

@(树状数组算法详解·目录)

树状数组的引入

相信读者一定知道什么是前缀和,形如一串数\(a1,a2...,an,sum[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]\)

前缀和在算法的优化上占有很重要的地位,一般就会预先对数据进行预处理运算以后,再在运算过程中用\(O(1)\)时间调用,这样的操作很大程度上避免了实际运算中的枚举,NOIP2016魔法阵就是一个典型的例题。

But前缀和也有其缺陷:

当原序列中的数据修改后如果快速调用前缀和??

在此,我们引入了一个名叫树状数组的算法,快速将单点修改和区间查询优化到\(O(logn)\)级别。


lowbit的含义

\(lowbit(i)\)表示非负整数i再二进制下最低位1以及末尾0的个数。

例如,二进制\(1001001100\)中,\(100\)的长度为\(3\),所以这个数字\(lowbit\)运算的结果为\(3\)。

根据计算机(dev-c++)的运算法则可得,lowbit(i)=i&-i .


树状数组的前缀和存储方式

对于每一个求和数组\(c[i],c[i]\)的求和范围\(a[i-lowbit(i)+1]\)~\(a[i]\).

用一幅图可以形象直观的解释其存储方式:


单点修改

对于\(add(x,val)\),表示\(a[x]\)加上了数值\(val\)。如何修改:

例如\(x=3\),需要修改的是\(3,4,8\)(若\(n=8\))

可见对于每一个修改的位置\(x\),下一个要修改的是\(x+lowbit(x).\)

即,\(3+lowbit(3)=4,4+lowbit(4)=8.\)

故得到代码如下:

void add(int x,int val)
{
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]+=val;
    return;
}

区间查询

\(ask(x)\)表示要查询\(1\)~\(x\)的前缀和。

例如\(x=7,sum=c[7]+c[6]+c[4],\)

可见对于每一\(x\),下一步要累加的是\(c[x-lowbit(x)].\)

因此得到代码如下:

inline int ask(int x)
{
    int ans=0;
    for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans+=c[i];
    return ans;
}

对于查询l到r区间的和,则\(sum=ask( r )-ask( l-1 ).\)


初始化

每一个\(c\)数组的求和范围是\(i-lowbit(i)+1\)~\(i,\)

可以利用最普通的前缀和直接求出\(1-i\)的和,

则\(c[i]=sum[i]-sum[i-lowbit(i)]\)。


模板例题——树状数组基本操作

如题,已知一个数列,你需要进行下面两种操作:

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

操作1: 格式:1 x k 含义:将第x个数加上k

操作2: 格式:2 x y 含义:输出区间[x,y]内每个数的和

输出包含若干行整数,即为所有操作2的结果。

注意n≤500000.

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500000;
int n,m;
int a[maxn+10];
int c[maxn+10];
int sum[maxn+10];
#define lowbit(x) (x&-x)
void add(int x,int val)
{
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]+=val;
    return;
}
inline int ask(int x)
{
    int ans=0;
    for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans+=c[i];
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",a+i);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) c[i]=sum[i]-sum[i-lowbit(i)];
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        int num,x,y;
        scanf("%d%d%d",&num,&x,&y);
        if (num==1) add(x,y);
        else printf("%d\n",ask(y)-ask(x-1));
    }
    return 0;
} 

差分——区间修改

已知一个数列,你需要进行下面两种操作:

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的值

操作1: 格式:1 x y k 含义:将区间[x,y]内每个数加上k

操作2: 格式:2 x 含义:输出第x个数的值

注意n≤500000.

对于某一区间\(x~y\)加上\(k\),可以用一个数组b标记:\(b[x]\)加上\(k\),\(b[y+1]\)减去\(k\)。

仔细思考一下,其实十分巧妙:

对这个标记数组做前缀和,做到\(x\)及以后刚刚加上了k,但是做到\(y+1\)以后又减回去了。

因此我们只需要用树状数组去维护这个数组b的前缀和,对于操作\(2\)返回\(a[x]+ask(x)\)即可。

code:


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&-x)
#define LL long long
const LL maxn=500000;
LL n,m;
LL a[maxn+10];
LL c[maxn+10];
void add(LL x,LL val)
{
    for (LL i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]+=val;
    return;
}
inline LL ask(LL x)
{
    LL sum=0;
    for (LL i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        sum+=c[i];
    return sum;
}
int main(void)
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (LL i=1;i<=n;++i)   scanf("%lld",a+i);
    for (LL i=1;i<=m;++i)
    {
        LL t;
        scanf("%lld",&t);
        if (t==1)
        {
            LL x,y,k;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
            add(x,k),add(y+1,-k);
        }
        if (t==2)
        {
            LL x;
            scanf("%lld",&x);
            printf("%lld\n",a[x]+ask(x));
        }
    }
    return 0;
}

备注

两道例题来自于洛谷\(P3374\)和\(P3368\).

欢迎指正!

原文地址:https://www.cnblogs.com/pigzhouyb/p/10119601.html

时间: 2024-11-05 18:43:29

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