题意
对多重数集 S 定义 Forbidden Sum F(S): 最小的无法凑出的自然数.
即 $F(S) = \min_x [\not \exists T \subset S, ~s.t.~ \sum_{i \in T} i = x]$ .
给定长度为 n 的数列 A .
m 组询问 [l, r] , 求 F(A[l : r]) .
n, m <= 100000 .
1 <= a[i] <= 10 ^ 9 .
1 <= a[1] + a[2] + ... + a[n] <= 10 ^ 9 .
分析
我们先考虑如何求一个集合 S 的 F 值.
探究 Forbidden Sum 的性质, 以更好的解决问题.
对于一个数集 S , F(S) = x , 考虑 F( S + {w} ) 怎么求.
我们可以多凑出 w, w+1, w+2, ..., w+x .
若 w <= x+1 , 那么 F( S + {w} ) = F(S) + w , 反之不变.
那么, 我们可以将 S 中的值 b[1], b[2], ..., b[m] 从小到大进行排序.
从小到大逐个尝试添加, 直到添加失败.
b[1] <= sum[0] + 1
b[2] <= sum[1] + 1
b[3] <= sum[2] + 1
...
b[x] <= sum[x-1] + 1
b[x+1] > sum[x] + 1
那么 F(S) = sum[x] + 1 .
修改一下这个算法.
对于 sum[x] + 1 , 我们每次找到最大的 i , x < i <= n, 使得 b[i] <= sum[x] + 1 , 然后令 x = i 进行迭代.
发现这样我们就可以二分查找最大的 i , 同时查找的次数是 log W .
考虑在序列 A 中进行询问.
我们只需要用 可持久化线段树 执行上述算法即可.
时间复杂度为 O(n log n log W) .
实现的时候只用查询值在 [lastsum + 1, sum] 中的和, 如果和为 0 , 那么就找不到, 否则令 lastsum = sum, sum += D .
初始 lastsum = 0, sum = 1 .
实现
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <cctype>
5 #define F(i, a, b) for (register int i = (a); i <= (b); i++)
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7 namespace Input {
8 const int S = 2000000;
9 char s[S], *h = s+S, *t = h;
10 inline char getchr(void) { if (h == t) fread(s, 1, S, stdin), h = s; return *h++; }
11 inline int rd(void) {
12 int f = 1; char c = getchr(); for (; !isdigit(c); c = getchr()) if (c == ‘-‘) f = -1;
13 int x = 0; for (; isdigit(c); c = getchr()) x = x*10+c-‘0‘; return x*f;
14 }
15 }
16 using Input::rd;
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18 const int N = 100005;
19 const int R = (int)1e9;
20 const int S = 5000000; // n * log(1e9)
21
22 #define LC (c[x][0])
23 #define RC (c[x][1])
24 #define M ((L + R) >> 1)
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26 int n, tot, rt[N];
27 int c[S][2], sum[S];
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29 inline int Insert(int f, int L, int R, int w) {
30 int x = ++tot; LC = c[f][0], RC = c[f][1], sum[x] = sum[f];
31 if (L == R) return sum[x] += w, x;
32 w <= M ? LC = Insert(c[f][0], L, M, w) : RC = Insert(c[f][1], M+1, R, w);
33 sum[x] = sum[LC] + sum[RC];
34 return x;
35 }
36
37 inline int Sum(int rootL, int rootR, int L, int R, int l, int r) {
38 if (l <= L && R <= r) return sum[rootR] - sum[rootL];
39 int res = 0;
40 if (l <= M) res += Sum(c[rootL][0], c[rootR][0], L, M, l, r);
41 if (M < r) res += Sum(c[rootL][1], c[rootR][1], M+1, R, l, r);
42 return res;
43 }
44
45 int Calc(int l, int r) {
46 int sum = 1, last = 0;
47 while (true) {
48 int D = Sum(rt[l-1], rt[r], 1, R, last + 1, sum);
49 if (!D) break;
50 last = sum, sum += D;
51 }
52 return sum;
53 }
54
55 int main(void) {
56 #ifndef ONLINE_JUDGE
57 freopen("xsy1175.in", "r", stdin);
58 #endif
59
60 n = rd();
61 F(i, 1, n) {
62 int x = rd();
63 rt[i] = Insert(rt[i-1], 1, R, x);
64 }
65
66 int m = rd();
67 F(i, 1, m) {
68 int l = rd(), r = rd();
69 printf("%d\n", Calc(l, r));
70 }
71
72 return 0;
73 }