第一道 A 掉的严格意义上的组合计数题，特来纪念一发。
第一次真正接触到这种类型的题，给人感觉好像思维得很发散才行……
对于一个排列 \(p_1,p_2,\dots,p_n\)，对于每个 \(i\) 向 \(p_i\) 连一条边，可以发现整个构成了一个由若干环组成的图，目标是将这些环变为自环。
引理：把长度为 \(n\) 的环变为 \(n\) 个自环，最少交换次数为 \(n-1\)。
用归纳法证，对于当前情况，任意一次交换都将其拆为两个环，由淘汰赛法则可知引理成立。
记 \(F_n\) 表示在最少交换次数下把长度为 \(n\) 的环变为 \(n\) 个自环，有多少种交换方式。由前所述，我们每次都将其拆为两个环，不妨设两个环长度为 \(x,y\)，并记 \(T(x,y)\) 表示有多少种方法可将一个长度为 \(n\) 的环变为长度为 \(x,y\) 的两个环，那么当 \(n\) 为偶数且 \(x=y\) 时有 \(T(x,y)=\frac{n}{2}\)，其他情况 \(T(x,y)=n\)。由于 \(x\) 环与 \(y\) 环的操作互不干扰，两边的操作可以随意排列，因此这里就是一个多重集的全排列。
于是有了递归表达式： \[F_n=\sum_{x+y=n}\left(T(x,y)F_xF_y\frac{(n-2)!}{(x-1)!(y-1)!}\right)\] 对于题目中的所有 \(k\) 个环，记它们的长度为 \(\{l_k\}\)，最终答案为： \[\prod^{k}_{i=1}F_{l_{i}}\dfrac{(n-k)!}{\prod^{k}_{i=1}(l_i-1)!}\] 还没完，
（找环这个骚操作是照题解区 dalao 学的，只能 orz
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const ll mod=1e9+9;
int n,a[N],L[N],cnt;
ll fac[N]={1,1},F[N]={0,1};
bool vis[N];
ll qpow(ll bas,ll p)
{
ll res=1; bas%=mod;
for(;p;p>>=1)
{
if(p&1) res=res*bas%mod;
bas=bas*bas%mod;
}
return res;
}
int dfs(int x)
{
vis[x]=1;
if(vis[a[x]]) return 1;
return dfs(a[x])+1;
}
int main()
{
int T; scanf("%d",&T);
for(int i=2;i<N;++i)
fac[i]=i*fac[i-1]%mod,
F[i]=qpow(i,i-2)%mod;
while(T--)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
cnt=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!vis[i]) L[++cnt]=dfs(i);
ll ans=fac[n-cnt];
for(int i=1;i<=cnt;++i)
ans=ans*F[L[i]]%mod*qpow(fac[L[i]-1],mod-2)%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}原文地址：https://www.cnblogs.com/wzzyr24/p/12234527.html
时间： 2024-10-02 07:28:34